【题解】CF1944

合集 - CF 题解(13)

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CF1944A

简要题意

给定完全图
删k条边使得从一号点开始的可达点最少

Solution

注意到最多需要删 n-1 条边就可以使得任意一个其他点都到达不了
又注意到只要删的边少于 n-1 就可以从一号点走出去，主要走出去就可以走到任何点
所以这题答案只有两种
如果k≤n-1 答案为n
否则答案为 1

CF1944B

简要题意

给定一个长度为 $2n$ 的序列 $a$，包含 $1$ ~ $n$ 每个数恰好两次。
对 $a$ 的前 $n$ 个元素和后 $n$ 个元素分别求出长度为 $2k$ 的子序列 $l,r$，使得 $l$ 与 $r$ 中所有元素的异或和相等，即 $l_1\oplus l_2\oplus ...\oplus l_{2k}=r_1\oplus r_2\oplus ...\oplus r_{2k}$。

Solution

• 我们称前n个数为左边，后n个数为右边
• 注意到对于每一种数，只有两种分配方案
  第一种 左右各一个
  第二种 都在左或右
• 不难证明左右两边两种数的个数分别相等
• 对于第一种，左右同时取即可
  对于第二种，一种一定合法的构造方案是两边都同时取两个，由于2k一定是偶数，所以这种构造一定合法。
• 到这就很清晰了，无脑按照第一/第二种方法构造就可以了，任意一种数不够用了换另一种即可

CF1944C

简要题意

• Alice 和 Bob 在大小为 $n$ 的数组 $a$ 上玩一个游戏：Alice 有一个空数组 $c$ 开始。两位玩家轮流进行游戏，Alice 先开始。
• 在 Alice 的回合中，她从 $a$ 中选择一个元素，将该元素添加到 $c$ 中，然后从 $a$ 中删除该元素。
  在 Bob 的回合中，他从 $a$ 中选择一个元素，然后从 $a$ 中删除该元素。
• 当数组 $a$ 为空时游戏结束，游戏的得分定义为 $c$ 的 MEX。
• Alice 希望最大化得分，而 Bob 希望最小化得分。
• 找出如果两位玩家都采取最佳策略时的游戏最终得分。

Solution

• 显然数的顺序不重要，数的个数重要，直接存桶
• 假定最终答案是 $x$，那么 $0$ 到 $x-1$ 之间的所有数都需要取到
• 显然这 $x$ 个数都至少得有一个
• 如果一个数有两个，那么 A 可以在 B 拿走一个数之后立刻拿走另一个
  也就是说，至少一个数至少有两个，那么 A 一定可以拿到这个数
• 这 $x$ 个数中，可以有一个数只有一个，它将被 A 一开始就拿走
• 实现：从 0 开始遍历桶，直到第一个位置计数为 0 或者 第二个位置计数为 1，这个位置的下标即为答案 (这是第一个取不到的数)

CF1944D

简要题意

• 定义一个字符串是 $k$-good 的，当且仅当该字符串存在长为 $k$ 的非回文子串。
• 对于字符串 $t$，定义 $f(t)$ 为满足 $t$ 是 $k$-good 的正整数 $k$ 的总和。
• 对于给定的一个长为 $n$ 的字符串 $s$，你需要回答 $q$ 个询问，每次询问给出两个正整数 $l,r$，求 $f(s_l{s}_{l+1}\dots s_r)$ 的值。每个测试点 $t$ 组测试用例。
• $1\le t\le 2\cdot {10}^4;1\le n,q,\sum n,\sum q\le 2\cdot {10}^5;1\le l<r\le n$

Solution

• 注意到不是 $k-g$ 的条件很苛刻，考虑什么时候不是 $k-g$
• $k=1$ ： 永远不kg
  $k=|S|$：不 kg 当且仅当 S 回文
  $k=\mathrm{奇}\mathrm{数}$ ： 如果不 kg，说明分别从第一，第二个位置开始截取长度为 k 的字串都是回文的，容易推导出这一段一定是形如 ABABA 交替，进而推广到整个串都是 ABABA 交替
  $k=\mathrm{偶}\mathrm{数}$ ： 如果不 kg，类似的，可以推广到整个串都是 AAAAAAAA
• 综上所述，我们只需要判断一个串：

1. 是否回文
2. 是否形如 ABABAB
3. 是否形如 AAAAA

• 判后两个是容易的，判回文马拉车即可

CF1944E

简要题意

• 给定树 $n\le 5e3$
• 初始时所有节点都是白色
• 定义操作：选择一个节点，把距离这个节点距离为 $d$ 的点都变成黑色 $(0\le d\le n-1)$
• 问最少多少次操作把所有点都染成黑的，并输出方案

Solution

• 容易想到直径
• 考虑直径这条链，一次最多染链上的两个点
• 得到答案下界 : $ceil(n/2)$
• 注意到染整棵树和染直径所需次数相同，于是只考虑直径
• 得到答案上界：$n/2+1$ (如果直径上点数是偶数可以取到，如 6)
• 注意到：如果直径上有奇数个点，答案上界等于答案下届，没什么优化空间，直接选定直径中点一层一层染即可
• 考虑长度为 4 的链用于启发：发现长度为 4 的链实际上只需要两次操作
• 如果链上点数是 4 的倍数，那么一定可以取到答案下届（反复按照长度为 4 的链构造即可）
• 现在只剩一种情况：点数是 4 的倍数+2，发现无论如何都不能取到下届（考虑长度为 6 的链）
  答案为 $n/2+1$ 构造方法同上，只需单独染最后两个多出来的点即可

CF1944F

简要题意

• 题意：给定序列，每次选择长度 $>1$ 的区间减 $1$，若可以变为全 $0$ 序列，那么是好的，问存在多少长度为 $n$ 且元素 $\in [0,k]$ 的好序列。
• $n\le 5000$

Solution

• 显然先找“好数组”的充要条件。对原数组 $a$ 差分，设 $b_i=a_i-a_{i-1}$。那么一次可以选择一对 $(i,j)$ 满足 $i\le j-2$，然后给 $b_i$ 减 $1$，给 $b_j$ 加 $1$。
• 从左往右操作。注意到我们不能操作相邻的一对元素，所以若某个时刻 $b_i>0$ 且 $b_{1\sim i-2}$ 都为 $0$ 就不合法。这就是充要条件。
• 充要条件可以表述成 $b_i+\sum _{j=1}^{i-2}{b}_j\ge 0$，即 $a_i-a_{i-1}+a_{i-2}\ge 0$，注意 $a_0=a_{n+1}=0$。
• 对于 $n\le 400$ 可以直接做一个 $O(n^3)$ dp，设 $f_{i,j,k}$ 为考虑了 $[1,i]$ 的前缀，$a_{i-1}=j,a_i=k$ 的方案数。因为合法的 $a_{i-2}$ 是一段后缀，所以预处理后缀和即可做到 $O(1)$ 转移。
• 加强版看不懂题解