【题解】CF1944
CF1944A
简要题意
给定完全图
删k条边使得从一号点开始的可达点最少
Solution
注意到最多需要删 n-1 条边就可以使得任意一个其他点都到达不了
又注意到只要删的边少于 n-1 就可以从一号点走出去，主要走出去就可以走到任何点
所以这题答案只有两种
如果k≤n-1 答案为n
否则答案为 1
CF1944B
简要题意
给定一个长度为 \(2n\) 的序列 \(a\)，包含 \(1\) ~ \(n\) 每个数恰好两次。
对 \(a\) 的前 \(n\) 个元素和后 \(n\) 个元素分别求出长度为 \(2k\) 的子序列 \(l,r\)，使得 \(l\) 与 \(r\) 中所有元素的异或和相等，即 \(l_1\oplus l_2\oplus...\oplus l_{2k}=r_1\oplus r_2\oplus...\oplus r_{2k}\)。
Solution
- 我们称前n个数为左边，后n个数为右边
- 注意到对于每一种数，只有两种分配方案
第一种 左右各一个
第二种 都在左或右 - 不难证明左右两边两种数的个数分别相等
- 对于第一种，左右同时取即可
对于第二种，一种一定合法的构造方案是两边都同时取两个，由于2k一定是偶数，所以这种构造一定合法。 - 到这就很清晰了，无脑按照第一/第二种方法构造就可以了，任意一种数不够用了换另一种即可
CF1944C
简要题意
- Alice 和 Bob 在大小为 \(n\) 的数组 \(a\) 上玩一个游戏：Alice 有一个空数组 \(c\) 开始。两位玩家轮流进行游戏，Alice 先开始。
- 在 Alice 的回合中，她从 \(a\) 中选择一个元素，将该元素添加到 \(c\) 中，然后从 \(a\) 中删除该元素。
在 Bob 的回合中，他从 \(a\) 中选择一个元素，然后从 \(a\) 中删除该元素。 - 当数组 \(a\) 为空时游戏结束，游戏的得分定义为 \(c\) 的 MEX。
- Alice 希望最大化得分，而 Bob 希望最小化得分。
- 找出如果两位玩家都采取最佳策略时的游戏最终得分。
Solution
- 显然数的顺序不重要，数的个数重要，直接存桶
- 假定最终答案是 \(x\)，那么 \(0\) 到 \(x-1\) 之间的所有数都需要取到
- 显然这 \(x\) 个数都至少得有一个
- 如果一个数有两个，那么 A 可以在 B 拿走一个数之后立刻拿走另一个
也就是说，至少一个数至少有两个，那么 A 一定可以拿到这个数 - 这 \(x\) 个数中，可以有一个数只有一个，它将被 A 一开始就拿走
- 实现：从 0 开始遍历桶，直到第一个位置计数为 0 或者 第二个位置计数为 1，这个位置的下标即为答案 (这是第一个取不到的数)
CF1944D
简要题意
- 定义一个字符串是 \(k\)-good 的，当且仅当该字符串存在长为 \(k\) 的非回文子串。
- 对于字符串 \(t\)，定义 \(f(t)\) 为满足 \(t\) 是 \(k\)-good 的正整数 \(k\) 的总和。
- 对于给定的一个长为 \(n\) 的字符串 \(s\)，你需要回答 \(q\) 个询问，每次询问给出两个正整数 \(l,r\)，求 \(f(s_ls_{l+1}\dots s_r)\) 的值。每个测试点 \(t\) 组测试用例。
- \(1\le t\le 2\cdot 10^4;1\le n,q,\sum n,\sum q\le 2\cdot 10^5;1\le l<r\le n\)
Solution
- 注意到不是 \(k-g\) 的条件很苛刻，考虑什么时候不是 \(k-g\)
- \(k=1\) ： 永远不kg
\(k=|S|\)：不 kg 当且仅当 S 回文
\(k=奇数\) ： 如果不 kg，说明分别从第一，第二个位置开始截取长度为 k 的字串都是回文的，容易推导出这一段一定是形如 ABABA 交替，进而推广到整个串都是 ABABA 交替
\(k=偶数\) ： 如果不 kg，类似的，可以推广到整个串都是 AAAAAAAA - 综上所述，我们只需要判断一个串：
- 是否回文
- 是否形如 ABABAB
- 是否形如 AAAAA
- 判后两个是容易的，判回文马拉车即可
CF1944E
简要题意
- 给定树 \(n\leq 5e3\)
- 初始时所有节点都是白色
- 定义操作：选择一个节点，把距离这个节点距离为 \(d\) 的点都变成黑色 \((0\leq d \leq n-1)\)
- 问最少多少次操作把所有点都染成黑的，并输出方案
Solution
- 容易想到直径
- 考虑直径这条链，一次最多染链上的两个点
- 得到答案下界 : \(ceil(n/2)\)
- 注意到染整棵树和染直径所需次数相同，于是只考虑直径
- 得到答案上界：\(n/2+1\) (如果直径上点数是偶数可以取到，如 6)
- 注意到：如果直径上有奇数个点，答案上界等于答案下届，没什么优化空间，直接选定直径中点一层一层染即可
- 考虑长度为 4 的链用于启发：发现长度为 4 的链实际上只需要两次操作
- 如果链上点数是 4 的倍数，那么一定可以取到答案下届（反复按照长度为 4 的链构造即可）
- 现在只剩一种情况：点数是 4 的倍数+2，发现无论如何都不能取到下届（考虑长度为 6 的链）
答案为 \(n/2+1\) 构造方法同上，只需单独染最后两个多出来的点即可
CF1944F
简要题意
- 题意：给定序列，每次选择长度 \(>1\) 的区间减 \(1\)，若可以变为全 \(0\) 序列，那么是好的，问存在多少长度为 \(n\) 且元素 \(\in[0,k]\) 的好序列。
- \(n\leq 5000\)
Solution
- 显然先找“好数组”的充要条件。对原数组 \(a\) 差分，设 \(b_i = a_i - a_{i - 1}\)。那么一次可以选择一对 \((i, j)\) 满足 \(i \le j - 2\)，然后给 \(b_i\) 减 \(1\)，给 \(b_j\) 加 \(1\)。
- 从左往右操作。注意到我们不能操作相邻的一对元素，所以若某个时刻 \(b_i > 0\) 且 \(b_{1 \sim i - 2}\) 都为 \(0\) 就不合法。这就是充要条件。
- 充要条件可以表述成 \(b_i + \sum\limits_{j = 1}^{i - 2} b_j \ge 0\)，即 \(a_i - a_{i - 1} + a_{i - 2} \ge 0\)，注意 \(a_0 = a_{n + 1} = 0\)。
- 对于 \(n \le 400\) 可以直接做一个 \(O(n^3)\) dp，设 \(f_{i, j, k}\) 为考虑了 \([1, i]\) 的前缀，\(a_{i - 1} = j, a_i = k\) 的方案数。因为合法的 \(a_{i - 2}\) 是一段后缀，所以预处理后缀和即可做到 \(O(1)\) 转移。
- 加强版看不懂题解
