【题解】CF1956

合集 - CF 题解(13)

1.【题解】CF19562024-11-06

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CF1956A

简要题意

• 有 $n$ 个人玩一个游戏，把这 $n$ 个人分别编号为 $1$ 到 $n$。
• 每一轮，编号为 $a_1,a_2,\dots ,a_k$ ( $a$ 序列递增 ) 的人会被踢出这个游戏，剩下的人会补齐空位并重新从 $1$ 开始编号。
• 当某一轮没有人被踢出时，游戏结束，剩下没有被踢出的人成为赢家。
• 现在请你求出最后会有多少人成为赢家。
  $q$ 次询问，对 $q$ 个 $n$ 分别给出答案。
  $n,q\le 100$

Solution

• 注意到只要 $a_1$ 这个位置有人游戏就一定结束不了，所以游戏结束时最多剩下 $a_1-1$ 个人。
• 注意到 $a_1$ 这个位置之前的人永远都不会被踢出去，所以前 $a_1-1$ 个人永远不会被踢。
• 显然答案最多为 $n$，故 $ans=min(n,a_1-1)$
• 单次询问时间复杂度 $O(1)$
  总时间复杂度 $O(q)$

CF1956B

简要题意

• 你和 Nene 在玩一个纸牌游戏，这个游戏由 $2n$ 张牌组成，每张上面都写着一个在 $1$ 到 $n$ 之间的数字，每个数字有两张。
• 游戏开始前，你和 Nene 都会随机获得其中的 $n$ 张牌。
• 游戏的玩法如下：
  你和 Nene 轮流出牌（你是先手）直到所有的牌都被打出。
  每一个回合，（假设这个回合出牌的人是你）你需要打出一张牌，并把它放在桌子上（一开始桌子是空的）。如果在你打出这张牌的时候桌子上已经有了一张写着同样数字的牌，那么你得一分（Nene 出牌的回合同理）。
• Nene 足够聪明，她一定会采取最优策略：使得她自己的得分最高的情况下让你的得分最低。
• 现在给出你得到的牌 $a_1,a_2,\dots ,a_n$ 请你求出你最高可以获得多少分。
• $t$ 组数据。
  $1\le \sum n\le 2\times {10}^5$
  $1\le a_i\le n$

Solution

• 注意到对于每一种牌，我们拿到的情况只有三种：拿到两张，拿到一张，拿到零张
• 显然双方拿到的“一张牌”个数相等
• 又因为双方总牌数相等，所以双方拿到的“两张牌”和“零张牌”个数也相等
• 对于拿到两张的牌：第一次打出一定不会得分，第二次打出一定得分，所以这种牌对结果的贡献是一定的
• 对于拿到零张的牌：显然这种牌对结果没有任何贡献，所以这种牌对结果的贡献是一定的
• 对于拿到一张的牌：可以证明：我们在任意时刻打出这张牌，Nene 都可以立即打出一张相同的牌使自己得分，也就是说我们无法使用“一张牌”得到任何一分。
• 考虑如何使用”一张牌“来得分：在 Nene 打出第一张”一张牌“前，一直只打”两张牌“。然而，前面证明了双方的”两张牌“数量相等，且我方先手，也就是说上述情况不可能发生。
• 综上所述，$ans=\mathrm{两}\mathrm{张}\mathrm{牌}\mathrm{的}\mathrm{种}\mathrm{类}\mathrm{数}$
• 实现非常简单，开桶记录即可
  时间复杂度 $O(\sum n)$

CF1956C

简要题意

• 有一个 $n\times n$ 的矩阵，初始时所有位置均为 $0$ ，现在要对其进行若干次操作，操作有两种：

1. 选择一个正整数 $i(1\le i\le n)$ 和一个 $1$ ~ $n$ 的排列 $p_1,p_2,\cdots ,p_n$，将每个 $a_{i,j}(1\le j\le n)$ 同时赋值为 $p_j$。
2. 选择一个正整数 $i(1\le i\le n)$ 和一个 $1$ ~ $n$ 的排列 $p_1,p_2,\cdots ,p_n$，将每个 $a_{j,i}(1\le j\le n)$ 同时赋值为 $p_j$。

• 需要进行不多于 $2\times n$ 次操作，使得数组中元素的和最大。
• 输出最终数组中元素的和、操作次数和操作方案。
• 一共 $t(1\le t\le 500)$ 组数据，每组数据中 $1\le n\le 500$ ，$1\le \sum n^2\le 5\times {10}^5$。

Solution

• 大胆猜想最优情况一定是这样的

1 2 3 4 5 
2 2 3 4 5
3 3 3 4 5
4 4 4 4 5
5 5 5 5 5

• 注意在这种情况的基础之上无论怎么操作都不能使答案更优，考虑如何构造出这种方案
• 注意到第一行和第一列是排列，所以我们可以最后安置这两行/列，现在成功缩小问题为构造出右下角 $4\times 4$ 大小的矩阵
• 注意到新矩阵的第一行和第一列也可以通过排列构造出来，现在发现这是一个递归子问题，逐层递归即可得解，操作次数正好为 $2\times n$，当然，最内层的操作可以少一次
• 实现：从右下角开始，逐层向外扩展即可
• 当然可以先构造出矩阵，再一个一个累加得到元素和，但这并不优雅，考虑 $O(1)$ 计算元素和 $S$
• $S=\sum _{i=1}^{n}i(2i-1)=2\sum _{i=1}^n{i}^2-\sum _{i=1}^{n}i$
• 瓶颈是求 $\sum _{i=1}^n{i}^2$
• $i^2=i^2-i+i=i(i-1)+i=C_i^2+C_i^1$
• $\sum _{i=1}^n{i}^2=C_1^1+C_2^1+C_3^1+\cdots +C_n^1$
• $+C_2^2+C_3^2+\cdots +C_n^2$
• $=C_{n+1}^2+C_{n+1}^3=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
• 整理得：$S=n(n+1)\ast (2n+1)/3-n(1+n)/2$

CF1956D

简要题意

• 给定长度为 $n$ 的序列 $a_i$
• 满足 $1\le n\le 18,0\le a_i\le {10}^7$
• 定义一次操作为将 $[l,r]$ 区间赋值为 $a_l,\dots ,a_r$ 的 $\mathrm{mex}$ 值
• 求在 $5\times {10}^5$ 次操作之内序列和的最大值，并给出操作序列。

Solution

• 首先需要有极强的注意力：注意到操作等价于：区间赋值，值为区间长度
• 如果注意到了这点，显然问题转化为将序列划分为若干段，每段的价值为 $max(\sum _{i=l}^r{a}_i,(r-l+1{)}^2)$
• 这个东西就很简单了，区间 DP 即可，时间复杂度 $O(n^2)$
• 考虑如何将一个区间的值全都变为区间长度，并保证总的操作次数不大于 $5\times {10}^5$
• 首先把区间每个数都弄成 $0$，这是简单的
• 设 $f(x)$ 表示将长度为 $x$ 的序列从全 $0$，变为从 $1$ 到 $x$ 的递增序列需要多少次操作
• 显然 $f(1)=1$
• 考虑 $f(x)$ 的递推式与对应的构造方案
• 若要构造长度为 $x$ 的递增序列，则先构造长度为 $x-1$ 的递增序列，操作次数为 $f(x-1)$
• 此时加上一个 $0$，再进行一次操作，使所有数都变成 $x$
• 此时只保留最后一个数，前面的数全都弄成 $0$，再构造一次长度为 $x-1$ 的递增序列即可，操作次数为 $f(x-1)$
• 综上：$f(x)=2f(x-1)+1$
• 容易得到通项公式：$f(x)=2^{x+1}-1$，在 $n$ 取 18 时，操作次数为 $f(17)+1=131073$
• 综上，按上述方法一定可以在操作次数限制内构造出解

CF1956E

简要题意

• 给定长度为 $n$ 的序列 $a$ 。$n\le 1e5a_i\le 1e9$
• $i$ 从 2 开始，在 $1\to n\to 1$ 之间无限循环，使得 $a_i=max(0,a_i-a_{i-1})$
• 问最终哪些位置的值不会再改变

Solution

• 考虑现在已经转了 $t$ 圈了，仍然有连续的四个数非 $0$ : $a,b,c,d$
• $b$ 至少减少了 $O(t)$，$c$ 至少减少了 $O(t^2)$，$d$ 至少减少了 $O(t^3)$
• 所以当转了至少 $\sqrt[3]{max(a_i)}$ 圈的时候，一定不存在连续的四个数
• 考虑一个数：$a$
  显然永远存活
• 考虑两个数：$a,b$
  显然 $a$ 肯定存活，$b$ 肯定寄
• 考虑三个数：$a,b,c$
  显然 $a$ 肯定存活，$b$ 肯定寄，$c$ 受到的伤害是个等差数列求和，$O(1)$ 算一下即可
• 实现：按照上述方法模拟，时间复杂度 $O(n\sqrt[3]{max(a_i)})$

CF1956F

简要题意

• 有 $n$ 个人站在一排
• 第 $i$ 个人的臂长用 $l_i,r_i$ 表示
• 两个人 $i,j$ 能够互相传球，当且仅当 $|i-j|\in [l_i+l_j,r_i+r_j]$。
• 你可以提取一个序列 $a_1,a_2,...,a_m$，其中 $\mathrm{\forall }1\le i<m$，$a_i$ 与 $a_{i+1}$ 可以互相传球，同一个人在序列中可以多次出现。
• 求最少提取几个序列使得 $n$ 个人都被提取过。

Solution

• 如果 $i,j$ 可以互相传球，则连无向边 $(i,j)$，则问题相当于求连通块个数。
• 对于 $i<j$，连边的条件经过移项可以整理为：$i+l_i\le j-l_j$ 且 $j-r_j\le i+r_i$，即区间 $[i+l_i,i+r_i]$ 与区间 $[j-r_j,j-l_j]$ 有交。
• 根据题意，我们称 $[i-r_i,r-l_i]$ 为 $i$ 的左手区间，$[i+l_i,i+r_i]$ 为 $i$ 的右手区间。
• 一个错误的想法是，建立 $n$ 个点表示人，另建 $n$ 个点代表位置。对于每个人 $i$，向位置点区间 $[i-r_i,i-l_i]$ 与 $[i+l_i,i+r_i]$ 连边，以位置为桥梁维护是否可以连通。
• 问题在于可能存在 $i<j$，$i$ 与 $j$ 两者的左手区间有交，或者两者的右手区间有交，导致 $i,j$ 通过交集连通。然而我们只希望两个人 $i<j$ 通过 $i$ 的右手区间与 $j$ 的左手区间的交连通。
• 考虑只保留这样的位置点：不仅处在某个人的左手区间，也处在某个人的右手区间。
• 显然这样操作是正确的，因为被删除的点使得不会出现上述的错误，而保留的点满足的能够通过左—右—左或者右—左—右的方式使得所有满足条件的 $(i,j)$ 都能连通。
• 这样暴力做的复杂度是 $O(n^2)$，注意到 $i$ 向左/右手区间连边，可以修改成 $i$ 向其中一个位置连边，然后位置区间相邻连边，复杂度降为 $O(n)$