CF1956A
简要题意
- 有 \(n\) 个人玩一个游戏，把这 \(n\) 个人分别编号为 \(1\) 到 \(n\)。
- 每一轮，编号为 \(a_1, a_2, \ldots, a_k\) ( \(a\) 序列递增 ) 的人会被踢出这个游戏，剩下的人会补齐空位并重新从 \(1\) 开始编号。
- 当某一轮没有人被踢出时，游戏结束，剩下没有被踢出的人成为赢家。
- 现在请你求出最后会有多少人成为赢家。
\(q\) 次询问，对 \(q\) 个 \(n\) 分别给出答案。
\(n,q \leq 100\)
Solution
- 注意到只要 \(a_1\) 这个位置有人游戏就一定结束不了，所以游戏结束时最多剩下 \(a_1-1\) 个人。
- 注意到 \(a_1\) 这个位置之前的人永远都不会被踢出去，所以前 \(a_1-1\) 个人永远不会被踢。
- 显然答案最多为 \(n\)，故 \(ans=min(n,a_1-1)\)
- 单次询问时间复杂度 \(O(1)\)
总时间复杂度 \(O(q)\)
CF1956B
简要题意
- 你和 Nene 在玩一个纸牌游戏，这个游戏由 \(2n\) 张牌组成，每张上面都写着一个在 \(1\) 到 \(n\) 之间的数字，每个数字有两张。
- 游戏开始前，你和 Nene 都会随机获得其中的 \(n\) 张牌。
- 游戏的玩法如下：
你和 Nene 轮流出牌（你是先手）直到所有的牌都被打出。
每一个回合，（假设这个回合出牌的人是你）你需要打出一张牌，并把它放在桌子上（一开始桌子是空的）。如果在你打出这张牌的时候桌子上已经有了一张写着同样数字的牌，那么你得一分（Nene 出牌的回合同理）。
- Nene 足够聪明，她一定会采取最优策略：使得她自己的得分最高的情况下让你的得分最低。
- 现在给出你得到的牌 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) 请你求出你最高可以获得多少分。
- \(t\) 组数据。
\(1\le \sum n \le 2 \times 10^5\)
\(1\le a_i \le n\)
Solution
- 注意到对于每一种牌，我们拿到的情况只有三种：拿到两张，拿到一张，拿到零张
- 显然双方拿到的“一张牌”个数相等
- 又因为双方总牌数相等，所以双方拿到的“两张牌”和“零张牌”个数也相等
- 对于拿到两张的牌：第一次打出一定不会得分，第二次打出一定得分，所以这种牌对结果的贡献是一定的
- 对于拿到零张的牌：显然这种牌对结果没有任何贡献，所以这种牌对结果的贡献是一定的
- 对于拿到一张的牌：可以证明：我们在任意时刻打出这张牌，Nene 都可以立即打出一张相同的牌使自己得分，也就是说我们无法使用“一张牌”得到任何一分。
- 考虑如何使用”一张牌“来得分：在 Nene 打出第一张”一张牌“前，一直只打”两张牌“。然而，前面证明了双方的”两张牌“数量相等，且我方先手，也就是说上述情况不可能发生。
- 综上所述，\(ans=两张牌的种类数\)
- 实现非常简单，开桶记录即可
时间复杂度 \(O(\sum n)\)
CF1956C
简要题意
- 有一个 \(n\times n\) 的矩阵，初始时所有位置均为 \(0\) ，现在要对其进行若干次操作，操作有两种：
- 选择一个正整数 \(i~(1\le i \le n)\) 和一个 \(1\) ~ \(n\) 的排列 \(p_1,p_2,\cdots,p_n\)，将每个 \(a_{i,j}~(1\le j \le n)\) 同时赋值为 \(p_j\)。
- 选择一个正整数 \(i~(1 \le i \le n)\) 和一个 \(1\) ~ \(n\) 的排列 \(p_1,p_2,\cdots,p_n\)，将每个 \(a_{j,i}~(1\le j \le n)\) 同时赋值为 \(p_j\)。
- 需要进行不多于 \(2\times n\) 次操作，使得数组中元素的和最大。
- 输出最终数组中元素的和、操作次数和操作方案。
- 一共 \(t~ (1\le t \le 500)\) 组数据，每组数据中 \(1\le n\le 500\) ，\(1\le \sum n^2 \le 5\times 10^5\)。
Solution
1 2 3 4 5
2 2 3 4 5
3 3 3 4 5
4 4 4 4 5
5 5 5 5 5
- 注意在这种情况的基础之上无论怎么操作都不能使答案更优，考虑如何构造出这种方案
- 注意到第一行和第一列是排列，所以我们可以最后安置这两行/列，现在成功缩小问题为构造出右下角 \(4\times 4\) 大小的矩阵
- 注意到新矩阵的第一行和第一列也可以通过排列构造出来，现在发现这是一个递归子问题，逐层递归即可得解，操作次数正好为 \(2\times n\)，当然，最内层的操作可以少一次
- 实现：从右下角开始，逐层向外扩展即可
- 当然可以先构造出矩阵，再一个一个累加得到元素和，但这并不优雅，考虑 \(O(1)\) 计算元素和 \(S\)
- \(S=\sum_{i=1}^{n} {i(2i-1)}=2\sum_{i=1}^{n}i^2-\sum_{i=1}^{n}i\)
- 瓶颈是求 \(\sum_{i=1}^{n} i^2\)
- \(i^2=i^2-i+i=i(i-1)+i=C_i^2+C_i^1\)
- \(\sum_{i=1}^{n} i^2=C_1^1+C_2^1+C_3^1+\cdots+C_n^1\)
- \(\quad \quad \quad \quad \quad+C_2^2+C_3^2+\cdots+C_n^2\)
- \(=C_{n+1}^{2}+C_{n+1}^{3}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
- 整理得：\(S=n(n+1)*(2n+1)/3-n(1+n)/2\)
CF1956D
简要题意
- 给定长度为 \(n\) 的序列 \(a_i\)
- 满足 \(1\leq n\leq 18,0\leq a_i\leq 10^7\)
- 定义一次操作为将 \([l,r]\) 区间赋值为 \(a_l,\ldots,a_r\) 的 \(\mathrm{mex}\) 值
- 求在 \(5\times 10^5\) 次操作之内序列和的最大值，并给出操作序列。
Solution
- 首先需要有极强的注意力：注意到操作等价于：区间赋值，值为区间长度
- 如果注意到了这点，显然问题转化为将序列划分为若干段，每段的价值为 \(max(\sum_{i=l}^r a_i,(r-l+1)^2)\)
- 这个东西就很简单了，区间 DP 即可，时间复杂度 \(O(n^2)\)
- 考虑如何将一个区间的值全都变为区间长度，并保证总的操作次数不大于 \(5\times 10^5\)
- 首先把区间每个数都弄成 \(0\)，这是简单的
- 设 \(f(x)\) 表示将长度为 \(x\) 的序列从全 \(0\)，变为从 \(1\) 到 \(x\) 的递增序列需要多少次操作
- 显然 \(f(1)=1\)
- 考虑 \(f(x)\) 的递推式与对应的构造方案
- 若要构造长度为 \(x\) 的递增序列，则先构造长度为 \(x-1\) 的递增序列，操作次数为 \(f(x-1)\)
- 此时加上一个 \(0\)，再进行一次操作，使所有数都变成 \(x\)
- 此时只保留最后一个数，前面的数全都弄成 \(0\)，再构造一次长度为 \(x-1\) 的递增序列即可，操作次数为 \(f(x-1)\)
- 综上：\(f(x)=2f(x-1)+1\)
- 容易得到通项公式：\(f(x)=2^{x+1}-1\)，在 \(n\) 取 18 时，操作次数为 \(f(17)+1=131073\)
- 综上，按上述方法一定可以在操作次数限制内构造出解
CF1956E
简要题意
- 给定长度为 \(n\) 的序列 \(a\) 。\(n\leq 1e5 \quad a_i\leq 1e9\)
- \(i\) 从 2 开始，在 \(1\rightarrow n\rightarrow1\) 之间无限循环，使得 \(a_i=max(0,a_i−a_{i-1})\)
- 问最终哪些位置的值不会再改变
Solution
- 考虑现在已经转了 \(t\) 圈了，仍然有连续的四个数非 \(0\) : \(a,b,c,d\)
- \(b\) 至少减少了 \(O(t)\)，\(c\) 至少减少了 \(O(t^2)\)，\(d\) 至少减少了 \(O(t^3)\)
- 所以当转了至少 \(\sqrt[3]{max(a_i)}\) 圈的时候，一定不存在连续的四个数
- 考虑一个数：\(a\)
显然永远存活
- 考虑两个数：\(a,b\)
显然 \(a\) 肯定存活，\(b\) 肯定寄
- 考虑三个数：\(a,b,c\)
显然 \(a\) 肯定存活，\(b\) 肯定寄，\(c\) 受到的伤害是个等差数列求和，\(O(1)\) 算一下即可
- 实现：按照上述方法模拟，时间复杂度 \(O(n\sqrt[3]{max(a_i)})\)
CF1956F
简要题意
- 有 \(n\) 个人站在一排
- 第 \(i\) 个人的臂长用 \(l_i,r_i\) 表示
- 两个人 \(i,j\) 能够互相传球，当且仅当 \(|i-j|\in [l_i+l_j,r_i+r_j]\)。
- 你可以提取一个序列 \(a_1,a_2,...,a_m\)，其中 \(\forall 1\le i<m\)，\(a_i\) 与 \(a_{i+1}\) 可以互相传球，同一个人在序列中可以多次出现。
- 求最少提取几个序列使得 \(n\) 个人都被提取过。
Solution
- 如果 \(i,j\) 可以互相传球，则连无向边 \((i,j)\)，则问题相当于求连通块个数。
- 对于 \(i<j\)，连边的条件经过移项可以整理为：\(i+l_i\le j-l_j\) 且 \(j-r_j\le i+r_i\)，即区间 \([i+l_i,i+r_i]\) 与区间 \([j-r_j,j-l_j]\) 有交。
- 根据题意，我们称 \([i-r_i,r-l_i]\) 为 \(i\) 的左手区间，\([i+l_i,i+r_i]\) 为 \(i\) 的右手区间。
- 一个错误的想法是，建立 \(n\) 个点表示人，另建 \(n\) 个点代表位置。对于每个人 \(i\)，向位置点区间 \([i-r_i,i-l_i]\) 与 \([i+l_i,i+r_i]\) 连边，以位置为桥梁维护是否可以连通。
- 问题在于可能存在 \(i<j\)，\(i\) 与 \(j\) 两者的左手区间有交，或者两者的右手区间有交，导致 \(i,j\) 通过交集连通。然而我们只希望两个人 \(i<j\) 通过 \(i\) 的右手区间与 \(j\) 的左手区间的交连通。
- 考虑只保留这样的位置点：不仅处在某个人的左手区间，也处在某个人的右手区间。
- 显然这样操作是正确的，因为被删除的点使得不会出现上述的错误，而保留的点满足的能够通过左—右—左或者右—左—右的方式使得所有满足条件的 \((i,j)\) 都能连通。
- 这样暴力做的复杂度是 \(O(n^2)\)，注意到 \(i\) 向左/右手区间连边，可以修改成 \(i\) 向其中一个位置连边，然后位置区间相邻连边，复杂度降为 \(O(n)\)
