C. Sequence Master

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挺有意思的一道题

题意：给定一个$2*n$长度的数组$p$,要求构造一个长度也为$2*n$的整数数组$q$，使得$q$满足从$q$中任选$n$个数字的积等于$q$中剩下$n$个数的和，求出$p$与$q$的最短距离

最短距离定义为对应元素差的绝对值之和

由于$q$的要求有点严苛，先考虑如何构造$q$(条件严格的话$q$的数量可能很小，因此后面算最小距离时可能可以暴力枚举)

分为两种情况考虑：

$\forall i,j$有$q_i==q_j$

因为其强对称性考虑全部元素都相等，此时有$q_i^n==n*q_i$

·得到一组通解$q_i=0$

·以及当$n==1$时，$q_i$可以为任意值

·当$n==2$时，$q_i==2$

当$q_i$不全相等时，不妨设有$q_1!=q_2$

此时有方程组：

$\begin{cases}q_1*q_3*q_4*\cdots*q_{n+1}=q_2+q_{n+2}+\cdots+q_{2n}\\q_2*q_3*q_4*\cdots*q_{n+1}=q_1+q_{n+2}+\cdots+q_{2n}\end{cases}$

两式相减得: $(q_1-q_2)*q_3*q_4*\cdots*q_{n+1}=q_2-q_1$

即: $(q_1-q_2)*(q_3*q_4*\cdots*q_{n+1}+1)=0$

由于$q_1!=q_2$，所以$q_3*q_4*\cdots*q_{n+1}=-1$

因为$q$的限制是任意$n$个数，所以其实$q_{3,\cdots,2n}$这些数中任意取$n-1$个的乘积都为$-1$

又因为$q_i$为整数，所以只有当$2|n$时，才有解：$q_3=q_4=\cdots=q_2n=-1$

代回方程得：$q_1*(-1)=q_2-n+1$

即:$q_1+q_2=n-1$

又有：$q_1*q_2*\cdots*q_n=q_{n+1}+\cdots+q_{2n}$

即：$q_1*q_2=-n$

解得 $q_1=n,q_2=-1$，无论顺序

综上，由于只有三种情况，暴力讨论距离最小值即可

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#include<vector>
#include<map>
#include<queue>
#define int long long
#define inf 1e18
#define inc 0xcfcfcfcf
#define N 300007
#define M 500007
#define mod 1000000007
//#pragma GCC optimize(2)
//#pragma GCC optimize(3)
using namespace std;
inline int Read()
{
	char ch=getchar();bool f=0;int x=0;
	for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch=='-')f=1;
	for(;isdigit(ch);ch=getchar())x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
	if(f==1)x=-x;return x;
}
int T=1,n,m;
bool Solve()
{
 	//freopen("test.in","r",stdin);
	n=Read();
	vector<int> a;
	for(int i=1;i<=2*n;++i)
	{
		int in=Read();
		a.emplace_back(in);
	}
	if(n==1)
	{
		printf("%lld\n",abs(a[1]-a[0]));
		return 1;
	}
	sort(a.begin(),a.end());
	int s1=0,s2=0,s3=0;
	for(int i=0;i<a.size();++i)
	{
		s1+=abs(a[i]);
		s2+=abs(a[i]-2);
		if(i+1!=a.size())
			s3+=abs(a[i]+1);
	}
	s3+=abs(a[a.size()-1]-n);
	if(n==2)
	{
		printf("%lld\n",min(s1,min(s2,s3)));
		return 1;
	}
	if(n%2==0)
		printf("%lld\n",min(s1,s3));
	else
		printf("%lld\n",s1);
	return true;
}
signed main()
{
	T=Read();
	while(T--)
		if(!Solve())
			printf("-1\n");
	return 0;
}
/*
-std=c++11
-std=c99
*/