思考问题的一些方法：一般化，特殊化和归纳类比

半年看了刘未鹏的豆列（http://www.douban.com/people/pongba/doulists/），买了一些书没事看看，其中影响比较大的书有《决策和判断》，《走出思维的误区：批判性思维指南》，当时只是粗略地看了下G.波利亚的《数学与猜想》的1,2卷，最近的时候又把《数学与猜想》1卷在早上坐地铁的时候看了看，有种相识恨晚的感觉。

 

在这里简单介绍下巨牛----G.波利亚，请大家点击链接：http://baike.baidu.com/link?url=l_60mmRaJ7dlY4yuNrycWhmRpi33G76PaIaajGCqcYnyU9Z0Sgz-0abF1_jzFK2QL4TMrw3KXgrISgp-xyQ0kq。

 

《数学与猜想》第一卷中，作者主要介绍了面对以前没有碰到过的（数学题）问题的一些解决方法：

1. 一般化。

2. 特殊化

3. 归纳和类比。

 

1.一般化

指从对象的一个给定集合进而考虑到这个给定集合的更大集合。我们可以由三角形考虑到任意多边形，或者，从锐角的三角函数考虑到任意角的三角函数。在程序方面，提取出更一般化的方法。

 

2.特殊化

与一般化对立，给定一个对象的集合，进而考虑到这个对象较小的集合。例如，由任意多边形考虑到正n边形，由正n边形考虑到正三角形。

在特殊化的时候，我们还可以将目标限定到某一个具体的对象。例如，在研究全体素数的性质时，我们可以单个拿出17这个素数，进而研究17这个素数是否符合我们提出的素数性质。在程序方面，我们在提取出一般化的方法使，可以使用几个特殊的情形来验证下我们抽取方法的正确性。白盒测试是一个特殊化的用法。

 

3.归纳和类比

这是《数学与猜想》中最核心的思想。

类比是事物在某些类型上的相似性。通过归纳的手法，我们可以来类比事物。如果我们将对象的相似之处成功转化为概念，那我们就描述清楚了类比关系。

例如，人类的手，猫的爪子，马的前蹄……这些器官在某些方面具有相似性——由具有相似性关系的相似部分组成。

在上个例子中，阐明了类比关系：如果两个系统要做对比，那么就需要两个系统在清楚定义的关系上具有一致性。

在这里举一个类比的例子，摘自《数学与猜想》第二章习题的第11题，题中说了一个例子：设计一种飞机，使乘客在飞机失事的时候不易损伤颅骨。但明显不能使用真人来实验，在这个实验中，实验人员使用了鸡蛋在各种情况下被敲碎的情形来做实验。

在这个事例中，实验人员改变了原题，把颅骨的问题转换为蛋壳问题。这中间有一个类比：在机械结构方面来说：人脑和鸡蛋大致相似：两者都有脆硬的外壳和浆液内含物。

 

我们是否可以在我们的工作中使用以上三种方法呢？需要我们平时积极地思考了。愿大家共勉之。

 

最后，奉上一则笑话(摘自第一章习题的最后一个)：

逻辑学家，数学家，物理学家和工程师在一起。

逻辑学家说：你看这个数学家，他观察开头的九十九个数都比一百小，从而他就用他所谓的“归纳”推断所有的数都比一百小。

数学家说：一个物理学家相信60能被一切数除尽，他发现60能被1，2,3,4,5和6除尽，他还试验了更多的情况，例如10,20,30也能除尽60，并且说这些例子是随意举出的，由于60能被这些数所除尽，他就认为这些实验证据已经足够。

物理学家说：是的，你们去看工程师吧。一个工程师觉得所有奇数都是素数，他辩解说：1无论如何总是素数，无疑的3,5和7是素数，9则不灵了，它似乎不是素数，然而11,13，他说：“回过头再看9，我断定9必定是一个实验性的错误”。