剑指 Offer 49. 丑数（三指针）

• 题目描述

我们把只包含质因子 2、3 和 5 的数称作丑数（Ugly Number）。求按从小到大的顺序的第 n 个丑数。

 

示例:

输入: n = 10
输出: 12
解释: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 是前 10 个丑数。
说明:  

1 是丑数。
n 不超过1690。

• 三指针解法

这道题很容易想到的是，丑叔的集合是dp[i]=dp[a] *2+dp[b]*3+dp[c]*5，即丑叔一定是2 3 5 的倍数，但如何保证从小到大生成这些有序的丑数呢，那我们其实很容易想到三指针，这三个指针分别指向2的乘数，3的乘数和5的乘数。

 

我们知道，丑数的排列肯定是1,2,3,4,5,6,8,10.... 然后有一个特点是，任意一个丑数都是由小于它的某一个丑数*2，*3或者*5得到的，那么如何得到所有丑数呢？ 现在假设有3个数组，分别是： A：{1*2，2*2，3*2，4*2，5*2，6*2，8*2，10*2......}

B：{1*3，2*3，3*3，4*3，5*3，6*3，8*3，10*3......}

C：{1*5，2*5，3*5，4*5，5*5，6*5，8*5，10*5......}

那么所有丑数的排列，必定就是上面ABC3个数组的合并结果然后去重得到的，那么这不就转换成了三个有序数组的无重复元素合并的问题了吗？而这三个数组就刚好是{1,2,3,4,5,6,8,10....}乘以2,3,5得到的。

合并有序数组的一个比较好的方法，就是每个数组都对应一个指针，然后比较这些指针所指的数中哪个最小，就将这个数放到结果数组中，然后该指针向后挪一位。

回到本题，要求丑数ugly数组中的第n项，而目前只知道ugly[0]=1，所以此时三个有序链表分别就只有一个元素：

A ： {1*2......}

B ： {1*3......}

C ：{1*5......}

假设三个数组的指针分别是i,j,k，此时均是指向第一个元素，然后比较A[i]，B[j]和C[k]，得到的最小的数A[i]，就是ugly[1]，此时ugly就变成{1,2}了，对应的ABC数组就分别变成了：

A ： {1*2，2*2......}

B ： {1*3, 2*3......}

C ：{1*5,2*5......}

此时根据合并有序数组的原理，A数组指针i就指向了下一个元素，即'2*2'，而j和k依然分别指向B[0]和C[0]，然后进行下一轮合并，就是A[1]和B[0]和C[0]比较，最小值作为ugly[2].....如此循环n次，就可以得到ugly[n]了。

此外，注意到ABC三个数组实际上就是ugly[]*2，ugly[]*3和ugly[]*5的结果，所以每次只需要比较A[i]=ugly[i]*2，B[j]=ugly[j]*3和C[k]=ugly[k]*5的大小即可。然后谁最小，就把对应的指针往后移动一个，为了去重，如果多个元素都是最小，那么这多个指针都要往后移动一个。

class Solution
    def nthUglyNumber(self, n: int) -> int:
        dp = [1] * n 
        a, b, c =0 ,0 ,0
        for i in range(1, n):
            dp[i] = min(dp[a]*2, dp[b]*3, dp[c]*5)
            if dp[i] == dp[a]*2:
                a += 1 #为什么a要加1，这是为了递增a
            if dp[i] == dp[b]*3:
                b += 1
            if dp[i] == dp[c]*5:
                c += 1
        return dp[-1]

时间复杂度O(N)

空间复杂度O(1)

参考题解：https://leetcode-cn.com/problems/chou-shu-lcof/comments/250364/