最长上升子序列(LIS)

最长上升子序列(最长递增子序列,LIS)

长度问题

给定长度为$n$的序列$v$，求此序列中严格递增(上升)的子序列长度最大值(子序列可由原序列中不连续的元素构成)

朴素DP($O(n^2)$)

闫氏DP分析法

• 状态表示：

  • 集合$dp$：所有满足递增条件的元素集
  • 属性：$Max$，$dp[i]$表示以$i$结尾的最长递增子序列长度，$init(dp)=1$

• 状态计算：

  • $i$为当前工作区间尾指针,$j$为当前工作区间工作指针
  • $i$不可选:$v[i]\le v[j]$，不满足递增条件，不选
  • $i$可选：$v[i]>v[j]$
    • 选$i$：$dp[i]$长度继承自$dp[j]$，$dp[i]=dp[j]+1$
    • 不选$i$：该子序列$[[1],[...],[j]]$可能是一个非最优子序列或最优子序列的子序列，$dp[i]=dp[i]$

• 转移方程式：$dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1)$

extern vector<int>v,dp;
int lis(){
    fill(dp.begin(),dp.end(),1);
	for(int i=0;i<v.size();i++)
        for(int j=0;j<i;j++)
            if(v[i]>v[j])//v[i]可选
                dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
    return *max_element(dp.begin(),dp.end());
}

贪心(O($n{\log }_{2}n$))

思路:设原序列$v$，答案序列$ans$，当前工作指针为$i$。初始化$ans[0]=v[0]$，遍历原序列$v$：

• 若$v[i]$>$ans.back()$，则将$v[i]$加入$ans$末尾
• 否则，用$v[i]$替换$ans$中首个$\ge v[i]$的元素。由于$ans$始终有序，故可采用二分加速

extern int n;
extern vector<int>v,ans;
void lis(){
    ans.push_back(v[0]);
    for(auto i:v){
        if(i>ans.back()]) ans.push_back(i);
        else ans[distance(ans.begin(),lower_bound(ans.begin(),ans.end(),i))]=i;
    }
    cout<<ans.size()<<endl;
}

LCS求解LIS($O(n^2)$,不常用)

思路：将原序列$v$排序得到序列$v^{\prime }$，两序列的$LCS$也为有序，即为原序列$v$的$LIS$。此方法存在缺陷，仅适用于原序列$v$中不存在重复元素的情况，否则会出现错误。下面仅以二维$dp$数组的$LCS$举例

extern int n,v1[MAX],v2[MAX],dp[MAX][MAX];
void lcs(){
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if(v1[i-1]==v2[j-1]) dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
            else dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
    cout<<dp[n][n]<<endl;
}

最长连续上升子序列

转移方程式：$dp[i]=dp[i-1]+1$

extern vector<int>v,dp;
void lcis(){
    fill(dp.begin(),dp.end(),1);
    for(int i=1;i<v.size();i++)
        if(v[i]>v[i-1])
            dp[i]=dp[i-1]+1;
    return *max_element(dp.begin(),dp.end());
}

复杂度$O(n)$