Dijkstra

Dijkstra

• 本质：BFS+贪心，对点进行操作

• 特点：单源最短路，求解一个源点到其他所有点的最短距离

• 存储结构：链式前向星

• 适用对象：非负权图(一旦顶点已经确定最短路，其将不再被考查，$dis$将不再改变)；不能求最长路

• 核心思想：不断贪心选取$\{dis\}$中最小的顶点$U$，并更新其邻接点$V$的最短路

• 算法流程：设源点$s$，已确定最终最短路点集$\{S\}$(初始$\{S\}=\varnothing )$；各点当前最短路长度$\{dis\}$(初始$\{dis\}=+\infty$(非$s$,表示该点目前不可达),$0(s)$)，目前最短路方案数组$path$(存储其上一个来源顶点,初始化为$-1$表示无路径)，待算法结束后即为最终最短路方案；当前轮起点$U$，$U$邻接点集$\{V\}$，邻接点权值集$\{W\}$。三角形不等式：$dis(s,v)(最终)\le dis(s,u)+dis(u,v)$
  循环执行下列步骤，直到点集$\{S\}$中包含所有顶点或剩余未进入$\{S\}$的顶点$dis$值均无法更新:

  1. 考查最小顶点(贪心):从点集$\{S\}$中找$dis$最小且先前未被考查的顶点$U$作为当前轮起点(首次即为源点$s$)，考查顶点$U$

  2. 松弛入度边($BFS$扩散):扩散到$U$邻接点且先前未被考查的顶点$V$，检查是否能通过$U$作为中转而使$V$的$dis$更短(松弛，$dis[V]=min(dis[V],dis[U]+W)$，若被松弛，$path[V]=U$)

• 复杂度：朴素版$O(V^2)$，二叉堆优化版$O(V{\log }_{2}V+E)$

using ll=long long;
using pll=pair<ll,ll>;
const ll INF=__LONG_LONG_MAX__;
extern ll n,m,s;//点数,边数,源点
struct vertex{
    int e=-1;
}v[n];
struct edge{
    int u,v,w,n=-1;
}e[m];

朴素版

• 选目前$dis$最小点$U$的3个条件:该点未被考查,该点$dis$非无穷,该点$dis$更小
• 扩散至$U$邻接点$V$的3个条件:该邻接点未被考查,边权值非无穷,$V$通过$U$中转$dis$更短

void dijkstra(){
    vector<bool>S(n,0);
    vector<ll>dis(n,INF),path(n,-1);
    dis[s]=0;
    for(ll k=0;k<n;k++){//尽可能使未选点集添加到已选点集
        ll U=-1,minn=INF;
        for(ll i=0;i<n;i++)//贪心选dis最小点
            if(!S[i]&&dis[i]!=INF&&dis[i]<minn)//3个条件:该点未被考查,该点dis非无穷,该点dis更小
                U=i,minn=dis[i];
        if(U==-1) break;//特判:剩余点均不可达
        S[U]=1;//考查最小点
        for(ll i=v[U].e;~i;i=e[i].n){//BFS扩散邻接点 ~i:i!=-1
            ll V=e[i].v,W=e[i].w;
            if(!S[U]&&W!=INF&&dis[V]>dis[U]+W)//松弛3个条件:该邻接点未被考查,边权值非无穷,邻接点通过当前起点中转dis更短
                dis[V]=dis[U]+W,path[V]=U;
        }
    }
}

二叉堆优化版

• 选目前$dis$最小点$U$的3个条件:该点未被考查,该点$dis$非无穷,该点$dis$更小。选取$dis$最小点是通过另设$dis$的小根堆$Q$动态维护目前$dis$最小点$U$实现的。

• 扩散至$U$邻接点$V$的3个条件:该邻接点未被考查,边权值非无穷,$V$通过$U$中转$dis$更短

void dijkstra(){
    vector<bool>S(n,0);
	vector<ll>dis(n,INF),path(n,-1);
    priority_queue<pii,vector<pii>,greater<>>pq;//小根堆,first存顶点dis,second存顶点编号
    dis[s]=0,pq.push({dis[s],s});
    while(pq.size()){
        ll U=pq.top().second;
        pq.pop();
        if(S[U]) continue;//若已被考查过,直接跳过
        S[U]=1;//考查堆顶最小点
        for(ll i=v[U].e;~i;i=e[i].n){//BFS扩散邻接点 ~i:i!=-1
            ll V=e[i].v,W=e[i].w;
            if(!S[V]&&W!=INF&&dis[V]>dis[U]+W)//松弛邻接点入度边
                //松弛3个条件:该邻接点未被考查,边权值非无穷,邻接点通过当前起点中转dis更短
                dis[V]=dis[U]+W,path[V]=U,pq.push({dis[V],V});
        }
    }
}

路径输出

void print(ll s,ll t){
    if(!(~path[t])){cout<<-1<<' ';return;}
    if(s==t){cout<<s<<' ';return;}
    print(s,path[t]);
    cout<<t<<' ';
}

正确性证明