Bellman-Ford

Bellman-Ford

• 本质：DP，对边进行操作
• 特点：单源最短路，求解一个源点到其他所有点的最短距离
• 适用对象：小图，允许负权有向图，不能处理负权无向图和和负环图(负环：图上边权之和为负的环)
• 存储结构：直接存边
• 核心思想：每轮中反复松弛所有边，若该边使距离更优则更新。最多进行$V-1$轮，若之后还有边在更新，说明存在负环。
• 算法流程:闫氏DP分析法
  • 状态表示：
    • 集合：定义源点$s$到每个顶点的最短路长度$dis$(初始化为$+\infty$表示该点不可达，源点初始化为0)，路径数组$path$(存储其上一个来源顶点,初始化为$-1$表示无路径)
    • 属性：$Min$
  • 状态计算：设当前边为$<u,v>$，循环执行下列步骤，直到没有结点的$dis$再更新或循环$V-1$轮(若$V-1$轮后还在更新说明存在负环)
    • 不选第$k$条边：若选当前边不能使边的终点$v$到源点$s$的距离减小，则不选该边。$dis[v]$不变。
    • 选第$k$条边：若选当前边能够使边的终点$v$到源点$s$的距离减小，则选该边。$dis[v]=dis[u]+w$。(该边被松弛)
  • 状态转移方程式：$dis[v]=min(dis[v],dis[u]+w)$
    实际上，此处默认运用了滚动数组压到了一维。
• 复杂度：$O(VE)$
• 与Dijkstra算法的区别：
  1. Dijkstra每次考查的是先前未被考察且$dis$最小的点，一旦被考查后其将不再被考查，因此不能处理负权图
  2. Bellman-Ford每次都直接对所有边进行遍历，每轮循环中所有顶点的$dis$都有可能被修改，且最坏情形下到$V-1$轮才确定，因此可适用于负权图
• Bellman-Ford的队列优化：SPFA

C++实现

int n,m,s;//点数 边数 源点
struct edge{
	int f,t,w;
}e[MAXE];
void bellman(){
    vector<int>dis(MAXV,INF),path(MAXV,-1);
    dis[s]=0;
	for(int k=0;k<n-1;k++)//进行V-1次循环
		for(int i=0;i<m;i++)//遍历所有边
            ll U=e[i].f,V=e[i].t,W=e[i].w;
			if(dis[U]!=INF&&W!=INF&&dis[V]>dis[U]+W){
                //松弛条件:源点dis非无穷,边权值非无穷,源点中转使终点距离更近
				dis[V]=dis[U]+W;
				path[V]=U;
			}
}

路径输出

void print(int s,int t){
    if(s==t){cout<<s<<' ';return;}
    print(s,path[t]);
    cout<<t<<' ';
}

判断负环

在循环结束后，加入判断是否有边$<u,v>$满足$dis[v]>dis[u]+w$，若有则表明还可继续松弛，存在负环。

bool check(){
    for(int i=0;i<m;i++)
    	if(dis[e[i].t]>dis[e[i].f]+e[i].w) //若是非连通图,需再加条件dis[e[i].t]!=INF
            return 1;
    return 0;
}

负环还可用SPFA进行判断。