倍增 ST表

倍增

倍增是与二分相反的算法，其核心思想是每次扩大一倍，以$2^n$的速度极大扩展空间

• 原理：任意整数均可被分解为若干个以2为底的幂项和。最经典的倍增是$2^i$(实际应为$e^i$)

• 流程：定义倍增表$g[i][j]$,其中$i$代表起始元素索引，$j$代表倍增组数(该组对应区间长度(包含原元素本身)为$2^j$，该元素在该组中倍增后的位置为$i+2^j-1$)。$n$个元素最多可倍增${\log }_{2}n$组(经验值在20左右)。

• 倍增递推式：$g[i][j]=g[g[i][j-1]][j-1]$

• 含义:第$i$个元素倍增$j$组，等于其倍增$j-1$组后再倍增$j-1$组，即$i+2^j=(i+2^{j-1})+2^{j-1}$。特别地，当$j=0$时，表示其倍增$0$组，倍增区间长度为$2^0$，即为$i$本身

void init(){
    for(int i=0;i<n;i++) g[i][0]=i;
    for(int j=1;j<=log2(n);j++)//倍增轮数,或写成(1<<j)<=n
        for(int i=0;i<n;i++)//逐步处理每组组内倍增
            g[i][j]=g[g[i][j-1]][j-1];
}

• 优化：打表计算所有用到的${\log }_2$

extern vector<int>l2(n+1);
void calc(){
    l2[0]=-1;
    for(int i=1;i<=n;i++) l2[i]=l2[i>>1]+1;
}

倍增法具有极其广泛的应用，可用于求解ST表、LCA等问题。

ST表

可重复贡献性问题：对于运算$\text{opt}$，若满足$x\text{opt}x=x$，即重复该运算对答案无影响，则$\text{opt}$称为可重复贡献性运算，其对应的区间询问就是一个可重复贡献问题。常见的$\text{opt}=\text{max/min},\text{gcd}$等，但$\text{opt}\ne \sum ,\prod$等。

可重复贡献性常用于两个交集$\ne \varnothing$的区间合并。若大区间能被$n$个小区间所覆盖,则$\text{opt}$(大区间)=$\text{opt}$(小区间1,$\cdots$ ,小区间$n$)。

ST表用于高效解决具有可重复贡献性问题的数据结构，其基于倍增的思想。

ST表求解静态区间RMQ问题

问题：给定长度为$n$的静态序列(无任何修改操作)，有$m$次询问，每次给定$L,R$，查询序列区间$[L,R]$内的最值，必须以$O(1)$复杂度回答每次询问。

初始化ST表 $O(n{\log }_{2}n)$

流程：定义$dp[s][k]$表示区间$[s,s+2^k)$内的最值，根据鸽巢原理，$[s,s+2^k)$的区间最值必定为$最值($区间$[s,s+2^{k-1})$内的最值和区间$[s+2^{k-1},s+2^k)$内的最值$)$。

状态转移方程式：$dp[s][k]=RMQ(dp[s][k-1],dp[s+(1\ll (k-1))][k-1])$

extern int dp[MAX][log2(n)+10];
int opt(int,int);
void init(){
    for(int i=0;i<n;i++) dp[i][0]=a[i];
    for(int j=1;j<=log2(n);j++)
        for(int i=0;i+(1<<j)-1<n;i++)
            dp[i][j]=opt(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}

查询任意区间最值 $O(1)$

原理：设序列区间$[L,R]$，给定查询区间$[l,r]$，区间长度为$len=r-l+1$。根据鸽巢原理，将查询区间分为$[l,r^{\prime }]$和$[l^{\prime },r]$两个等长小区间，其长度均为$x$($x\le len$且$2x\ge len$)，确保两个小区间都能完全覆盖，且对于$dp[][k]$，需确保$2^k=x$，$k={\log }_2(len)$，由此可知$r’=l+2^k-1$，$l^{\prime }=r-2^k+1$。

状态转移方程式：$RMQ(dp[l][k],dp[r-(1\ll k)+1][k])$

extern int dp[MAX][log2(n)+10],l2[n];
extern int l,r;
int opt(int,int);
int query(){
    int k=l2[r-l+1];
    return opt(dp[l][k],dp[r-(1<<k)+1][k]);
}