二叉堆(优先队列)

堆

堆是一种在频繁插入删除情形下，仍能高效获取序列最值的数据结构。堆顶为树根，始终保持所有元素的最优值。堆总是一棵完全二叉树，称为二叉堆，因此其存储结构中定位其子节点无需left和right。堆可分类为大根堆、小根堆。

在堆中的任意节点，其总<=(大根堆,less)或>=(小根堆,greater)其父节点的值。下面以小根堆为例。

堆的调整($O({\log }_{2}n)$)

上浮(堆底插入元素)

extern int heap[MAX],cnt;//cnt:堆底元素下标
void push(int x){
    heap[++cnt]=x;
    int i=cnt;//当前工作指针,上浮调整堆底元素
    while(i>1&&heap[i]<heap[i/2]){//大根堆为>
        swap(heap[i],heap[i/2]);
        i=i/2;
    }
}

下沉(弹出堆顶元素)

extern int heap[MAX],cnt;//cnt:堆底元素下标
void pop(){
    swap(heap[1],heap[cnt--]);//交换堆顶元素与堆底元素
    int i=1;//当前工作指针,下沉调整堆顶元素
    while(i<<1<=cnt){//确保至少有左子结点(完全二叉树性质)
        int son=i<<1;
        if(son<cnt&&heap[son+1]<heap[son]) son++;//左右子节点中取最小的,充分确保可下沉,大根堆的第2个条件为>
        if(heap[son]<heap[i]) swap(heap[son],heap[i]),i=son;//大根堆为>
        else break;
    }
}

堆的构建

向上调整建堆($O(n{\log }_{2}n)$,在线)

对每个元素都调用$push$函数，共调用$n$次。

向下调整建堆(遍历堆化,$O(n)$,离线)

算法流程：从最后一个叶子结点的父节点开始，倒序遍历序列，利用堆的自相似性，每次执行下沉操作。

extern heap[MAX],cnt;
void shiftdown(int j){
    int i=j;
    while(i<<1<=cnt){
        int son=i<<1;
        if(son<cnt&&heap[son+1]<heap[son]) son++;
        if(heap[son]<heap[i]) swap(heap[son],heap[i]),i=son;
        else break;
    }
}
void build(){
    for(int i=cnt/2;i>=1;i--){
        shiftdown(i);
    }
}

STL(优先队列)

堆可以用于实现优先队列，C++的STLpriority_queue即为优先队列，其获取最值的功能与堆相同。

应用——堆排序($O(n{\log }_{2}n)$)

算法流程：建堆后，执行$n$次$pop$操作。