[数据结构]线段树

线段树

模板题:线段树1-洛谷(代码)

线段树是一种平衡二叉树，其核心思想为二分+分治+懒标记，可在$O({\log }_{2}n)$的复杂度内完成单点修改、区间修改、区间查询等操作。

设原序列长度为$n$，则每个节点$id(1\le id\le 4\times n)$都有一段原序列的管理区间$[L,R]$：

• 若$L=R$，则其为叶子节点，其管理区间长度为$1$，存储即为原序列数据。$tree[id]=a[l]$；

• 若$L<R$，则为非叶子节点，其管理区间内存储了该区间内的某种信息(如区间最值、区间GCD、区间和等)。每个节点$id$有两个孩子，左孩子为$2\times id$，管理区间为$[L,M]$；右孩子为$2\times id+1$，管理区间为$[M+1,R]$，$M=\frac{L+R}{2}$。$tree[id]=opt(tree[2\times id],tree[2\times id+1])$。

线段树适用条件：大区间的值，可由若干个小区间的值合并而来。如可重复贡献性问题、区间之和、区间之积等。

int n,v[n];
struct node{
    long long data,tag=0;//管理区间内的数据,懒标记标签
}tree[n<<2];//线段树数组开4*n
int opt(int a,int b);//具体操作函数

建树

• 向下递归：先左后右，向下递归到叶子节点，向叶子节点中传入原数组值
• 向上传递：叶子节点被传入数据后，需组织成区间信息，并向其父节点传递(向上传递)

void pushup(int id){//向上传递
    tree[id].data=opt(tree[id<<1].data,tree[id<<1|1].data);
}
void build(int id,int l,int r){//id:当前递归节点 [l,r]:当前递归节点管理区间
    if(l==r) tree[id].data=a[l];//已递归到叶子节点
    else{
        int mid=l+r>>1;
        build(id<<1,l,mid);//先递归左孩子2*id,管理区间[l,mid]
        build(id<<1|1,mid+1,r);//然后递归到右孩子2*id+1,管理区间[mid+1,r]
        pushup(id);//向上传递
    }
}
//调用:build(1,1,n);

单点修改

设将$pos$处修改为$value$：

• 向下递归：递归至叶子节点找pos。若$pos\le mid$，则进入左孩子管理区间继续递归；若$pos>mid$，则进入右孩子管理区间继续递归
• 向上传递：修改后向上传递信息

void change(int id,int l,int r,int pos,int value){//当前递归节点及其管理区间
    if(l==r) tree[id].data=value,a[pos].data=value;//递归至叶子节点修改信息
    else{
        int mid=l+r>>1;
        if(pos<=mid) change(id<<1,l,mid);//若pos在[l,mid],进入左孩子管理区间
        else chage(id<<1|1,mid+1,r);//若pos在[mid+1,r],进入右孩子管理区间
        pushup(id);
    }
}

区间修改

关键操作：懒标记(Lazy Tag)。对每个节点定义区间标记$tag$，用于记录其管理区间$[L,R]$内的统一修改，而对其中每个元素先不进行修改。仅当该管理区间元素的修改一致性被破坏时，才将自身$tag$向下传递给左右孩子，并清空自身$tag$。懒标记的作用就是等待下次向下传递时递归给左右孩子。

算法流程：设修改区间$[ml,mr]$，当前递归区间$[l,r]$：

• 若$[l,r]\subset [ml,mr]$(完全被修改区间覆盖)，则直接将$[l,r]$打标记
• 否则无法被修改区间完全覆盖，说明当前递归区间存在不应被修改的元素。向下对其左右子树传递区间标记，并分别递归其左右子树。

void addtag(int id,int l,int r,int d){//为节点打标记,此处以+d为例
    tree[id]+=d,tree[id]+=d*(r-l+1);
}
void pushdown(int id,int l,int r){//向下对左右孩子传递标记
    if(tree[id].tag){
        int mid=l+r>>1;
        addtag(id<<1,l,mid,tree[id].tag);
        addtag(id<<1|1,mid+1,r,tree[id].tag);
        tree[id].tag=0;
    }
}
void modify(int id,int l,int r,int ml,int mr,int d){//以区间[ml,mr]均+d为例
    if(ml<=l&&r<=mr){
        addtag(id,l,r,d);
    }else{
        pushdown(id,l,r);
        int mid=l+r>>1;
        if(ml<=mid) modify(id<<1,l,mid,ml,mr,d);
        if(mr>mid) modify(id<<1|1,mid+1,r,ml,mr,d);
        pushup(id);
    }
}

区间查询

设查询区间$[ql,qr]$，当前递归节点$id$管理区间为$[l,r]$：

• 若$[l,r]\subset [ql,qr]$：直接返回tree[id].data
• 若$[ql,qr]$与$[l,r]$部分重叠，则下传懒标记，并分别递归其左右孩子

int query(int id,int l,int r,int ql,int qr){
    if(ql<=l&&r<=qr) return tree[id].data;
    pushdown(id,l,r);
    int mid=l+r>>1,ans ;//ans=0(区间之和) 1(区间之积) MAX/MAX+1(MAX/MIN)
    if(ql<=mid) ans=opt(ans,query(id<<1,l,mid,ql,qr));
    if(qr>mid) ans=opt(ans,query(id<<1|1,mid+1,r,ql,qr));
    return ans;
}