字符串模式匹配(一)——单模匹配(KMP)

字符串模式匹配(一)——单模匹配(KMP)

单模匹配的常用算法为KMP，多模匹配常用算法为AC自动机。

暴力匹配法(BF,$O(|S|\times |T|)$)

设源串$S$的匹配指针为$i$，模式串$T$的匹配指针为$j$。暴力法通过逐个比较$S$与$T$中的每个字符进行模式匹配。

算法流程：循环执行下列步骤，直到$i$越界，匹配结束：

• 若$S[i]=T[j]$，该点成功匹配，继续比较。若$j$越界则为成功匹配，j=0进行下次匹配。
• 若$S[i]\ne T[j]$，则为二者的失配点，回溯二者的匹配指针。二者在失配前均为成功匹配，匹配指针一直同步变化，$j$为相对于匹配开始点的增量，因此本轮匹配起点即为$i-j$。$i$回溯到起点的下一个位置i=i-j+1，j=0。

string s,t;
vector<int>ans;//记录所有成功匹配开始点下标
void bf(){
    int i=0,j=0;
    while(i<s.size()){
        if(t[j]==s[i]){
            i++,j++;
            if(j>=t.size()) ans.push_back(i-t.size()),j=0;//j越界则产生答案
        }else i=i-j+1,j=0;//匹配失败,回溯
    }
}

KMP($O(|S|+|T|)$)

KMP是在BF上进行改进的单模匹配算法，其主要改进是最长公共前后缀数组，以避免大量的非必要回溯。

大量回溯的不必要性

设源串$S$的匹配指针为$i$，模式串$T$的匹配指针为$j$。设当前轮匹配的失配点前，$S$中成功匹配部分为其子串$S^{\prime }$，$T$中成功匹配部分为其前缀$T^{\prime }$，$S^{\prime }$与$T^{\prime }$完全相同。

• 若$T^{\prime }$中每个字符都不同：失配时暴力法的回溯为i=i-j+1，j=0，但$i$的回溯是完全不必要的。由于$T^{\prime }$中每个字符都不同，因此S[i-j+1]也不可能与T[0]相同。$i$不动，j=0即可。
• 若$T^{\prime }$中有部分字符相同，且相同部分为$T^{\prime }$的长度为$L$的前缀和后缀：$S^{\prime }$也具有等长的相同前后缀，因此$T^{\prime }$前缀与$S^{\prime }$后缀已经匹配，这部分无需重复匹配。失配时$i$不动，$j$移动到$T^{\prime }$前缀的下个位置L继续匹配即可。
• 若$T^{\prime }$中部分字符相同，且相同部分并非$T^{\prime }$的前缀和后缀：此种情况等价于$T^{\prime }$中每个字符都不同。$i$不动，j=0即可。
  
  由此可得，$i$完全没有必要回溯，只对$j$回溯即可。

最长公共前后缀数组

定义数组$Next[j]$，设模式串$T$的前$j-1$个字符构成其前缀$T^{\prime }$，则$Next[j]$存储$T^{\prime }$的前缀与后缀的最长交集长度(注意此处均指不包含$T^{\prime }$自身的真前后缀)，则$T^{\prime }$的后缀中最后下标为$j-1$，$T^{\prime }$前缀中最后下标为$Next[j]-1$(公共长度-1，注意字符串下标从$0$开始)，代表当失配时，$j$所回溯的位置。

• 若$T[i]=T[j]$，则$[0,i]$的长度转移自$[0,i-1]$的长度并$+1$。$Next[i+1]=Next[i]+1$。
• 若$T[i]\ne T[j]$，则前缀与后缀失配，属于回溯分析中的情况3，后缀失去后缀特性，无法在KMP中用于直接跳跃，$j$回溯。$Next[i+1]=0,j=Next[j]$。

获取最长公共前后缀数组的本质：模式串本身在进行自我模式匹配。

string s,t;//下标从0开始
vector<int>Next,ans;//注意next是cpp的关键字
void getNext(){//本质:模式串在进行自我模式匹配
    Next.resize(t.size()+1);
    Next[0]=0,Next[1]=0;//Next[0]不用;由于在找真前后缀的最长交集长度,因此Next[1]为0
    for(int i=1;i<t.size();i++){
        int j=Next[i];
        while(j&&t[i]!=t[j]) j=Next[j];//j在失配点跳跃到Next[j]
        if(t[i]==t[j]) Next[i+1]=j+1;//[0,i]的答案转移自[0,i-1]+1
        else Next[i+1]=0;//后缀失去后缀特性
    }
}
void kmp(){
    getNext();
    int j=0;
    for(int i=0;i<s.size();i++){
        while(j&&s[i]!=t[j]) j=Next[j];//j在失配点跳跃到Next[j]
        if(s[i]==t[j]) j++;
        if(j==t.size()) ans.push_back(i+1-t.size());//j越界,则匹配成功
    }
}