《游戏引擎架构》笔记十二 - 乘风有时

碰撞及刚体动力学

一些碰撞/物理系统：http://www.gamedev.net/community/forums/topic.asp?topic_id=463024

I-Collide：http://cs.unc.edu/I-COLLIDE
SWIFT：
ODE：http://www.ode.org
Bullet：http://code.google.com/p/bullet/
TrueAxis：http://trueaxis.com/
PhysX：
Havok：
PAL：http://www.adrianboeing.com/pal/index.ht ml
DMM：

碰撞检测系统
物理世界
形状：

相交、
接触（分离矢量，沿该矢量运动就能高效脱离碰撞妆容）、
凸（由形状内发射的光线不会穿越形状两次以上）

原型：

球体、
胶囊体、
轴对其包围盒AABB、
定向包围盒OBB、
离散定向多胞形discrete oriented polytope DOP、
任意凸体积、
多边形汤（碰撞引擎必须和每个三角形测试）、
复合形状

碰撞测试：

点和球体相交
球体和球体相交
分离轴定理：凸形状于该轴（分离轴）上的投影不重叠，能确定两个形状不相交。分离两个物体的轴/面称为分离线/面。三维空间中，分离轴仍然是个轴，分离线变成分离面。可以把形状逐一投影到各个潜在分离轴，并检查投影区间是否相交
AABB相交：分离轴定理。三个轴x,y,z。只有在三个轴都重叠，才是相交的。
检测凸碰撞：GJK算法。依赖闵可夫斯基差：把A中的所有点与B中的所有点都成对相减，得到的集合就是闵可夫斯基差。当且仅当两个形状相交，闵可夫斯基差包含原点。GJK尝试在闵科夫斯基的凸包内，尝试找出一个包含原点的四面体。若找到，则相交。
运动物体间的碰撞：
- 离散的静态碰撞；
- sweep shape扫琼形状做静态测试（结果不准确）；
- 连续碰撞检测continuous collision detection CCD，求出最早的冲击时间TOI

性能优化：

利用时间一致性避免每帧重新计算一些类型的信息
空间划分：八叉树、二元空间分割树、kd树等
粗略阶段，中间阶段，精确阶段：先AABB测试哪些物体会碰撞；再用符合形状的逼近包围体检测；最终测试碰撞体中个别碰撞原形是否相交。
扫琼裁剪：sweep and prune，对各个膨胀提的AABB的最小，最大坐标再三个主轴上排序，然后通过遍历改有序表检测AABB之间是否重叠

碰撞查询：

光线投射：投射的物体并不存在于碰撞世界，不会影响其他物体。返回一个t值，P = P₀（起点） + td（矢量增量）

struct RayCastContact{
    F32     m_t;//此接触点的t值
    U32    m_collidableId;//击中哪个可碰撞体？
    Vector m_normal;//接触点的法向量
    //其他信息
};

形状投射：传回的接触信息比光线投射更复杂，且必须返回多个接触点。

struct RayCastContact{
    F32     m_t;//此接触点的t值
    U32    m_collidableId;//击中哪个可碰撞体？
    Point   m_contactPoint;//实际接触点的位置
    Vector m_normal;//接触点的法向量
    //其他信息
};

Phantom：查询碰撞体是否在其他指定体积里。对于其他碰撞体是透明的，也不参与动力学模拟。phantom会持续在碰撞世界里存在。

碰撞过滤：决定碰撞体之间的接触是否成立

碰撞掩码及碰撞层：对世界中物体分类，然后用一个查找表判断某类碰撞物体能否与另一些分类碰撞。
碰撞回调：当碰撞库检测到碰撞时调用回调函数。回调函数可以检查碰撞的具体信息，然后按自己的条件决定接受或拒绝碰撞。
碰撞材质：每个碰撞表面关联一组属性，它定义了某种表面在物理上和碰撞上的行为。包含碰撞属性，如音效，粒子效果，摩擦系数等等。

刚体动力学

无约束刚体指可以在3个笛卡尔轴上自由移动，并绕3个轴自由旋转，因此它含6个自由度（degree of freedom ，DOF）。

无约束刚体的运动分为两个部分：

线性动力学：刚体除旋转以外的运动
旋转动力学：刚体的旋转性运动

对于均匀密度的刚体，其质心位于刚体的几何中心；若刚体的密度不均匀，那么就要令每个小块以其质量为权值，求加权平均值作为整个刚体的质心

其中，r表示半径或位置矢量，即从世界空间原点到该点的矢量。

线性动力学（质点）

线性速度&加速度
力&动量

运动方程求解

力作为函数：位置、速度、时间等的函数（常微分方程（ordinary differential equation ODE））。F(t,r(t),v(t),...) = ma(t)
解析解：找到闭合式函数，描述所有可能的时间值t的刚体位置（例如抛物线），但是游戏中几乎不可能。
数值积分：游戏引擎使用数值积分求解运动方程
- 显示欧拉：一阶近似，用切线逼近。
- 距离近似方程：r(t₂) = r(t₁) + v(t₁)Δt
- 速度近似方程：v(t₂) = v(t₁) + a(t₁)Δt
常微分方程的数值解的特性：
- 收敛性：Δt趋近于0的时候，近似解趋近真实解？
- 阶数：误差是O(t^?)
- 稳定性：数值解是否会稳定下来？

其他的数值积分方法

向后欧拉法
中点欧拉法
Runge-Kutta方法族
韦尔莱积分

韦尔莱积分是三阶方法，它需要已知待求时间点的前两个Δt的位置信息或速度信息。实际上是通过泰勒展开消去重复项。

待求时间点是t1 + Δt，已知t1和t1 - Δt的位置信息。则：

相减得到：

速度韦尔莱积分

计算r(t + Δt) = r(t₁) + v(t₁)Δt + 0.5a(t₁)*Δt²
计算v(t₁ + 0.5Δt) = v(t₁) + 0.5a(t₁)Δt
求a(t₁ + Δt) (假设a仅仅依赖位置，如果依赖速度，则需要先计算速度近似值)a(t₁ + Δt) = a(t₂) = m^-1F(t₂,r(t₂),v(t₂))
计算v(t + Δt) = v(t₁ + 0.5Δt) + 0.5a(t₁ + Δt)Δt