（四）单应矩阵
单应矩阵原理
单应（透射变换）是射影几何中的概念，又称为射影变换。他把一个射影平面上的点映射到另一个平面对应的位置，并且把直线映射为直线，具有保线性质。与对极几何不同的是，对极几何将点映射到线上，而单应矩阵是点对点的关系。要注意的是单应矩阵的适用场景为：当场景中的特征点都落在同一平面上，比如墙、地面等，此时可用单应性估计运动。
单应（透射变换）可以看成是仿射变换的拓展。仿射变换在图形中的变换包括：平移、缩放、旋转、斜切及它们的组合形式。这些变换的特点是：平行关系和线段的长度比例保持不变，即保持物体的平直性。而单应中也存在上述多种变换的组合形式，但是差别在于单应并不一定能保持平行关系和线段的长度比例不变。单应的特点是共面点成像，即单应变换是将某一块共面的地方变换到另外一个地方，但是多数情况下都会彻底改变物体位置和形状。
平面表示方法
首先需要确定一个平面法向量为 $\mathbf{\vec{n}} = [n_{1}, n_{2}, n_{3}]^{T}$，但是确定法向量并不能唯一确定一个平面。我们会得到无数多的相互平行的平面。为了唯一确定一个平面，我们还需要一个点，若平面上有一个定点 $\mathbf{x} = [x_{1}, x_{2}, x_{3}]^{T}$, 那么我们即可确定一个平面。
    假设平面上任意一点为 $\mathbf{m} = \{x, y, z\}$，平面方程为
$$Ax + By + Cz + D = 0$$
由于法向量已知，则上述方程可以表示成：
$$\mathbf{\vec{n}^{T}} \mathbf{m} + D = 0$$
显然上述的方程表示的是无数组平行的平面，确定 $D$ 即可确定唯一平面。则利用上述所说的平面上的任意动点 $x$，则有：
$$D = -\mathbf{\vec{n}^{T}}\mathbf{x} = -(n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3})$$
则平面的唯一表示方法为：
$$Ax + Bx + Cz = (n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3})$$
综上，为了表示一个平面，我们需要一个法向量，以及一个平面上的点（目的是为了求偏置）。
单应矩阵
由上述可知平面的表示方法可以写成：
$$\mathbf{\vec{n}}^{T}\mathbf{x} = d$$
参考对极几何及单应矩阵这篇文章，我们可以得到单应约束图像：
假设左边为第一个相机坐标系 $C_{1}$，右边为第二个相机坐标系 $C_{2}$。并且平面 $\pi$ 在第一个相机坐标系的法向量为 $\mathbf{\vec{n}}$，$C_{2}$ 到平面 $\pi$ 的距离为 $d$。假设平面中任意一个点 $\mathbf{X}$ 在第一个相机坐标系中的表示为 $\mathbf{X_{1}}$，则平面 $\pi$ 的表示方法为：
$$\mathbf{\vec{n}}^{T} \mathbf{X_{1}} = d$$
显然，上面的表示方法满足我们前面介绍的平面表示方法的约束条件，即一个法向量以及平面内有一个已知点。接着我们将平面 $\pi$ 的表示方法改变一下：
$$\frac{1}{d}\mathbf{\vec{n}}^{T} \mathbf{X_{1}} = 1$$
假设平面 $\pi$ 中有一空间点 $X$，对应两个相机的投影像素分别为 $\mathbf{p_{1}}, \mathbf{p_{2}}$，相机内参矩阵为 $\mathbf{K}，$归一化平面中的坐标系为 $\mathbf{x_{1}},\mathbf{{x_{2}}}$，并且满足条件 $s_{1}\mathbf{x_{1}} = \mathbf{X_{1}}$，其中 $s_{1}$ 为 $X_{1}$ 的深度值。若已知两个坐标系之间的相对变换为 $\mathbf{R}, \mathbf{t}$，表示从相机坐标系 $1$ 变换到相机坐标系 $2$，则有：
$$\mathbf{x_{1}} = \mathbf{K}^{-1}\mathbf{p_{1}}$$
$$\mathbf{x_{2}} = \mathbf{K}^{-1}\mathbf{p_{2}}$$
$$s_{2}\mathbf{x_{2}} = s_{1}\mathbf{R}\mathbf{x_{1}} + \mathbf{t}$$
$$s_{2}\mathbf{K}^{-1}\mathbf{p_{2}} = s_{1}\mathbf{R}\mathbf{K}^{-1}\mathbf{p_{1}} + \mathbf{t}$$
将平面 $\pi$ 的信息代入上述方程中得到：
$$s_{2}\mathbf{K}^{-1}\mathbf{p_{2}} = s_{1}\mathbf{R}\mathbf{K}^{-1}\mathbf{p_{1}} + \frac{s_{1}}{d}\mathbf{t}\mathbf{\vec{n}}^{T} \mathbf{K}^{-1} \mathbf{p_{1}} = s_{1}(\mathbf{R} + \frac{1}{d}\mathbf{t}\mathbf{\vec{n}}^{T})\mathbf{K}^{-1} \mathbf{p_{1}} $$
两边左乘相机内参矩阵：
$$s_{2}\mathbf{p_{2}} = s_{1} \mathbf{K}(\mathbf{R} + \frac{1}{d}\mathbf{t}\mathbf{\vec{n}}^{T})\mathbf{K}^{-1} \mathbf{p_{1}}$$
其中 $\mathbf{H} = \mathbf{K}(\mathbf{R} + \frac{1}{d}\mathbf{t}\mathbf{\vec{n}}^{T})\mathbf{K}^{-1}$ 称为单应矩阵。再进一步简化为：
$$\mathbf{p_{2}} = \frac{s_{1}}{s_{2}}\mathbf{H}\mathbf{p_{1}}$$
在上述的式子当中，我们发现除了单应约束以外，还有一个常系数 $\frac{s_{1}}{s_{2}}$。实际上该系数影响并不大，因为在实际求解当中，我们需要将得到的三个方程同时除以第三个方程，才能得到两个有用的约束关系。（笔者以为：之所以需要这么做，是因为我们输入的数据，均是归一化的点，因此，在最终的结果上也应保持左右两边最后一维的数值应该为 $1$）。显然，上述方程对于尺度的变化是不敏感的，因为没有任何作用。
通过将约束条件 $\mathbf{p_{2}} = \mathbf{H}\mathbf{p_{1}}$ 展开，我们可以得到两个方程。并且我们由上面的分析可以知道，单应矩阵 $\mathbf{H}$ 并非是有 $9$ 维自由度的矩阵，因为其对尺度不敏感。所以我们将单应矩阵最后一维置为 $1$。（或者可以强制单应矩阵所有参数的平方和为 $1$）最后我们需要求解的单应矩阵一共有 $8$ 个维度。而每一对匹配点可以提供两个约束方程，那么我们至少需要四对匹配点才可以求解八个参数。在上一讲的对极约束中，我们求解的问题是一个齐次方程，而若是我们采用令单应矩阵最后一维为1的约束，我们需要求解的则是一个 $Ax = b$ 非齐次方程，不过求解方法仍是采用SVD分解来得到。若是我们想要的问题结构是一个齐次方程，则我们需要限制单应矩阵所有元素的平方和为1。
拾遗
其实回顾上一讲中的本质矩阵，再关联一下基础矩阵。我们可以知道这两个矩阵之间相差的只是相机内参矩阵。而上述的单应矩阵其实也可以有两种解法。一种是如上的解法，也就是将相机内参矩阵融入问题结构中，与相机位姿一起求解，最后再分解出来，这种方法类对极约束中的基础矩阵的求法。另外一种就是去除相机内参，但是输入参数需要是归一化平面上的点，也就是说我们在第一步就将相机内参用了，无需再用它，那么求解单应矩阵的时候相应的就不需要求解相机内参了，这种方法类对极约束中的本质矩阵的求法。
由于OpenCV提供的求解函数是基于像素点的，因此单应矩阵中包含相机内参和相对位姿。为了能够和代码对得上，笔者就将内容修改为如上的内容。代码可以参考我的github。
参考材料
1. 对极几何及单应矩阵
2. 对极约束
3. 仿射变换与投影变换
