最大公约数(gcd)

最大公约数$(\gcd)$

很多题目中都要用到,非常的好用,但是理论很难,请仔细耐心阅读

更相减损术(九章算术）

$\forall a,b \in \mathbb{N}$,$a \geqslant b$ 有 $\gcd(a,b)$= $\gcd(b,a-b)$ = $\gcd(a,a-b)$
$\forall a,b \in \mathbb{N}$,有 $\gcd(2a,2b)$ = $\gcd(a,b)*2$

证明如下：(a|b表示b可以被a整除)
第一个: 对于$a$,$b$的最大公约数$d$,因为$d|a$,$d|b$,所以$d|(a-b)$.因此$d$也是$b$,$b-a$的公约数.
所以$a$,$b$,$a-b$的公约数集合相同,于是它们的最大公约数也亦然相等

第二个: 显然,略

得证

欧几里得算法

$\forall a,b \in \mathbb{N}$,$b \not = 0$ , $\gcd(a,b)$ = $\gcd$ ($b$,$a$ $mod$ $b$)

证明如下：

若$a<b$,则$\gcd(b,a\bmod b)$ = $\gcd(b,a)$ = $\gcd(a,b)$, 成立
若$a \geqslant b$,不妨设$a$ = $q*b+r$其中 $0\leqslant r < b$,显然 $r=a\bmod b$对于$a$,$b$的任意公约数$d$,因为$d|a$,$d|(q*b)$,故$d(a-qb)$,即$d|r$因此$d$也是$b$,$r$的公约数.所以$a$,$b$,$a\bmod b$的公约数集合相同,最大公约数也相等

得证

代码实现如下:

int gcd(int a,int b){
	return b ? gcd(b,a%b) : a;
}