去模运算（逆元）

diary

1.最近这几天连着训练,累s了,咸鱼属性正在觉醒.....

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文章逻辑较为繁琐,请仔细耐心阅读
建议放大后远距离阅读,感受最佳

引入

许多题目中要用到除法取模
但在取模等式等价变形中没有除法,为啥?

$(6\div3)\bmod 4 \not= (6 \bmod 4\div 3 \bmod 4) \bmod 4$

说明如果在计算数字过大时可能超范围,那么应该怎么办呢?

前置知识

快速幂

不懂可以去看鄙人的博客关于位运算

同余符号

$a\equiv1\pmod{n}$ 这个三条横线的符号表示$a$对$n$取模等于1对$n$取模

单位元 $a\equiv1\pmod{n}$

在一个集合中，对于某种运算，如果对于任何的集合元素 $a$，和元素 $e$ 运算，得到还是集合元素 $a$ 本身，则称 $e$ 为这个运算下的单位元。

加法

$a$为任意实数,若$a$ + $e$ = $a$ 则称 $e$是 单位元 0

乘法

$a$为任意实数,若 $a$ * $e$ = $a$ 则称 $e$ 是单位元 1

模乘

模乘的单位元是$1\pmod{n}$
证明如下：
对于模 n 乘法，所有模 n 和 a 同余的数都可以表示成
$a\pmod{n}=kn+a$
设单位元为$e\pmod{n}$，我们将$e\pmod{n}$和$a\pmod{n}$进行模乘,得:
$e\pmod{n}$ * $a\pmod{n}$
= ($k_1$$n$ + $e$) * ($k_2$$n$ + $a$)
= $k_1$$k_2$$n^2$+$a$$k_1$$n$+$e$$k_2$$n$+$a$$e$
= ($k_1$$k_2$$n$+$a$$k_1$+$e$$k_2$)$n$+$a$$e$

有因为 根据单位元的定义: $e\pmod{n}$ * $a\pmod{n}$ = $a\pmod{n}$
进一步可得: ($k_1$$k_2$$n$+$a$$k_1$+$e$$k_2$) $n$ + $a$$e$ = $k$$n$+$a$

$\begin{cases}k=k_1k_2n+ak_1+ek_2 \\ e = 1 \end{cases}$
模乘的单位元是$1\pmod{n}$
得证

逆元

在一个集合中，对于某种运算 ，如果任意两个元素的运算结果等于单位元 $e$ ，则称这两个元素互为逆元。

加法

a为任意实数,$a$的逆元是 -$a$

乘法

a为任意非零实数,$a$的逆元是 $a^{-1}$ 或 $\frac{1}{a}$

模乘

主角登场
 模乘运算中，任意整数 $a\pmod{n}$ 的逆元表示为： $a^{-1}\pmod{n}$
提前避坑
分数的取模运算非常"神奇"
如 解 $\dfrac{1}{3}$ mod 8
设:$n\equiv(\dfrac{1}{3})\pmod{8}$
$3n\equiv1\pmod{8}$
$3n\pmod{8}$ = 1
易得$n$ = $3$

所以 $\dfrac{1}{3}$ mod $8$ = $3$

根据逆元的定义,可知
$aa^{-1}\equiv1\pmod{n}$

引入

学到这我们知道了求(a $\div$ b)mod $n$可以转换为($a$*$b^{-1}$)mod $n$ $a\pmod{n}$ * $b^{-1}\pmod{n}$

而 $b^{-1}\pmod{n}$ 是 $b\pmod{n}$的逆元

那么逆元怎么求呢

求解逆元

费马小定理

若$p$是质数,则对于任意整数$a$,有$a^p\equiv a \pmod{p}$
进行转换得$1 \equiv a^{p-1} \pmod{p}$
$a^{-1} \equiv a^{p-2} \pmod{p}$

显然,当你要求$x^{-1}$时且 模数 为质数时,用费马小定理求即可

扩展欧几里得定理($B\acute{e}zout$定理)

在这之前你需要学习欧几里得算法也就是求$\gcd$,不懂的同学可以去看最大公约数(gcd)

对于任意整数$a$,$b$, 存在一对整数,满足$ax$+$by$=$\gcd(a,b)$

证明如下:

1、在欧几里得算法的最后一步,即求出$a_1$=$\gcd(a,b)$,$b_1$ = $0$ 时显然有一对整数 $x$ = $1$ y=$0$ 满足
$a_1*1$+$b_1$*$0$ =$\gcd(a,b)$ = $a_1$
2、若$b>0$, 则$\gcd(a,b)$ = $\gcd(b,a \bmod b)$.假设存在一对整数$x,y$,满足$b$ * $x$+$(a \bmod b)$ * $y$ = $\gcd(b,a \bmod b)$

转换得: $bx$+($a$-$b \lfloor a/b \rfloor$ )$y$ = $ay$+$b$($x$ - $\lfloor a/b \rfloor y$ ) = $\gcd(b,a \bmod b)$

所以令 $x'$ = $y$, $y'$ = $x$ - $\lfloor a/b \rfloor y$
就得到了 $ax'$ + $by'$=$\gcd(a,b)$
对欧几里得算法的递归过程应用数学归纳法,可知$B\acute{e}zout$定理成立

当你要求$s^{-1}$时,已知模数为$n$(质数)
根据$ss^{-1} \equiv 1 \pmod{n}$转化得 $ss^{-1}$ = $kn+1$
$ss^{-1}$ - $kn$ = $1$
因为 $k$的正负无关 可看为 $ss^{-1}$ + $kn$ = $1$

由于$ax$+$by$=$\gcd(a,b)$
设$a$ = $s$,$b$ = $n$ ,$x$ = $s^{-1}$ , $y$ = $k$
由于$b$ = $n$是质数,所以$\gcd(a,b)$ = $1$

用上述公式递归求出即可
代码实现如下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	int temp,d;
	if (b==0){
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}d=exgcd(b,a%b,x,y);
	temp=x;
	x=y;
	y=temp-a/b*y;
	return d;
}
int main(){
	int d,x,y;
	d=exgcd(i,n,x,y);
	return 0;
}

线性同余方程(逆元同理)

题目

给定整数$a$,$b$,$m$,求一个整数$x$满足$a$$x \equiv b \pmod{m}$ , 或者给出无解.因为未知数$x$的指数是$1$,我们称之为一次同余方程,也称线性同余方程
$a$$x \equiv b \pmod{m}$
等价于 $ax$ = -$km$ + $b$ ($k$ 的正负不重要)
移项 $a$ * $x$ + $k$ * $m$ = $b$
根据$B\acute{e}zout$定理 ( $ax$ + $by$ = $\gcd(a,b)$ )
当$\gcd(a,m)|b$时,此同余方程有解

设已知的$a$,$m$为$a$,$b$,设未知的$x$,$k$为$x$,$y$

求出一组整数$x_0$,$y_0$,满足 $a$ * $x_0$ + $b$ * $y_0$ = $\gcd(a,b)$
然后$x$ = $x_0$ * $b$ / $\gcd(a,b)$
就是原线性方程的一个解

后记

家人们,博主为了这篇博客整整做了好几天,劳烦家人们点个小赞
Thanks♪(･ω･)ﾉ