03 2013 档案
摘要：设 $X$ 是不可数集,并设 $\tau$ 是 $X$ 中一切这样的子集合 $E$ 的族,$E$ 或是空集或是余有限的.证明 $\tau$ 是 $X$ 上的拓扑.证明:首先,$\emptyset\in\tau$(题目已经指明),其次 $X\in\tau$(因为 $X\backslash X$ 是有限...
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摘要：设 $X$ 是不可数集,并设 $\tau$ 是 $X$ 中一切这样的子集合 $E$ 的族,$E$ 或是空集或是余有限的.证明 $\tau$ 是 $X$ 上的拓扑.证明:首先,$\emptyset\in\tau$(题目已经指明),其次 $X\in\tau$(因为 $X\backslash X$ 是有限...
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摘要：给定一个带有序关系 $\leq$ 的全序集 $X$,说集合 $V\subset X$ 是开的,如果对于每个 $x\in V$,都存在一个集合 $I$,$I$ 或者是一个"区间" $\{y\in X:a<y<b\}$ ,其中 $a,b\in X$,或者是一条射线 $\{y\in X:a<y\}$,其中...
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摘要：给定一个带有序关系 $\leq$ 的全序集 $X$,说集合 $V\subset X$ 是开的,如果对于每个 $x\in V$,都存在一个集合 $I$,$I$ 或者是一个"区间" $\{y\in X:a<y<b\}$ ,其中 $a,b\in X$,或者是一条射线 $\{y\in X:a<y\}$,其中...
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摘要：证明平凡拓扑不是 Hausdorff 拓扑.证明:这是因为空集无法成为 $X$ 中任意一个元素的邻域.证明:对于 Hausdorff 空间,成立命题 12.1.20 的类比.先叙述出类比.设 $(X,\tau)$ 是 Hausdorff 拓扑空间,并设 $(x^{(n)})_{n=m}^{\inft...
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摘要：证明平凡拓扑不是 Hausdorff 拓扑.证明:这是因为空集无法成为 $X$ 中任意一个元素的邻域.证明:对于 Hausdorff 空间,成立命题 12.1.20 的类比.先叙述出类比.设 $(X,\tau)$ 是 Hausdorff 拓扑空间,并设 $(x^{(n)})_{n=m}^{\inft...
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摘要：设 $X$ 是集合,令 $\tau=\{\emptyset,X\}$,证明 $(X,\tau)$ 是拓扑空间(叫平凡拓扑).设 $X$ 含有多于一个的元素,证明平凡拓扑不能由在 $X$ 上定义一个度量得到.证明这个拓扑空间既是紧致的又是连通的.证明:之所以 $(X,\tau)$ 是拓扑空间,是因为首...
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摘要：设 $X$ 是集合,令 $\tau=\{\emptyset,X\}$,证明 $(X,\tau)$ 是拓扑空间(叫平凡拓扑).设 $X$ 含有多于一个的元素,证明平凡拓扑不能由在 $X$ 上定义一个度量得到.证明这个拓扑空间既是紧致的又是连通的.证明:之所以 $(X,\tau)$ 是拓扑空间,是因为首...
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摘要：联合命题 13.3.2 和推论 13.4.7,推出关于紧致连通区域上的连续函数的定理,作为推论 9.7.4 的推广.解答:设 $(X,d)$ 是紧致连通度量空间.设 $f:X\to\mathbf{R}$ 是从度量空间 $(X,d)$ 到实直线的连续映射.根据陶哲轩实分析命题 13.3.2,可知存在 ...
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摘要：联合命题 13.3.2 和推论 13.4.7,推出关于紧致连通区域上的连续函数的定理,作为推论 9.7.4 的推广.解答:设 $(X,d)$ 是紧致连通度量空间.设 $f:X\to\mathbf{R}$ 是从度量空间 $(X,d)$ 到实直线的连续映射.根据陶哲轩实分析命题 13.3.2,可知存在 ...
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摘要：设 $(X,d)$ 是度量空间,并设 $E$ 是 $X$ 的子集合.证明:如果 $E$ 是连通的,则 $E$ 的闭包 $\overline{E}$ 也是连通的.证明:如果 $\overline{E}$ 不是连通的,则 $\overline{E}$ 可以分解成两个不相交非空集合$A$ 和 $B$ 的并...
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摘要：设 $(X,d)$ 是度量空间,并设 $E$ 是 $X$ 的子集合.证明:如果 $E$ 是连通的,则 $E$ 的闭包 $\overline{E}$ 也是连通的.证明:如果 $\overline{E}$ 不是连通的,则 $\overline{E}$ 可以分解成两个不相交非空集合$A$ 和 $B$ 的并...
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摘要：设 $(X,d)$ 是度量空间,并设 $E$ 是 $X$ 的子集合,且 $E$ 是道路连通的,求证 $E$ 是连通的.证明:假如 $E$ 不是连通的,则 $E$ 可以分解成两个非空的互不相交的集合 $A$ 和 $B$ 的并,其中 $A$ 和 $B$ 都是相对于 $E$ 的开集.在 $A$ 里选取一个...
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摘要：设 $(X,d)$ 是度量空间,并设 $E$ 是 $X$ 的子集合,且 $E$ 是道路连通的,求证 $E$ 是连通的.证明:假如 $E$ 不是连通的,则 $E$ 可以分解成两个非空的互不相交的集合 $A$ 和 $B$ 的并,其中 $A$ 和 $B$ 都是相对于 $E$ 的开集.在 $A$ 里选取一个...
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摘要：设 $(X,d)$ 是度量空间,并设 $(E_{\alpha})_{\alpha\in I}$ 是 $X$ 中的一族连通集合.还设 $\bigcap_{\alpha\in I}E_{\alpha}$ 不空.证明 $\bigcup_{\alpha\in I}E_{\alpha}$ 是连通的.证明:由于...
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摘要：设 $(X,d)$ 是度量空间,并设 $(E_{\alpha})_{\alpha\in I}$ 是 $X$ 中的一族连通集合.还设 $\bigcap_{\alpha\in I}E_{\alpha}$ 不空.证明 $\bigcup_{\alpha\in I}E_{\alpha}$ 是连通的.证明:由于...
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摘要：(中值定理) 设 $f:X\to \mathbf{R}$ 是从度量空间 $(X,d_X)$ 到实直线的连续映射.设 $E$ 是 $X$ 的连通子集合,并设 $a,b\in X$.设 $y$ 是介于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的实数.那么存在 $c\in E$,使得 $f(c)=y$.证明:...
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摘要：(中值定理) 设 $f:X\to \mathbf{R}$ 是从度量空间 $(X,d_X)$ 到实直线的连续映射.设 $E$ 是 $X$ 的连通子集合,并设 $a,b\in X$.设 $y$ 是介于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的实数.那么存在 $c\in E$,使得 $f(c)=y$.证明:...
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摘要：设 $f:X\to Y$ 是从度量空间 $(X,d_X)$ 到度量空间 $(Y,d_Y)$ 的连续映射.设 $E$ 是 $X$ 的连通子集,那么 $f(E)$ 是 $Y$ 的连通子集.证明:假设 $f(E)$ 不是 $Y$ 的连通子集,则 $f(E)$ 可以分解成两个不相交集合 $A$ 和 $B$ ...
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摘要：设 $f:X\to Y$ 是从度量空间 $(X,d_X)$ 到度量空间 $(Y,d_Y)$ 的连续映射.设 $E$ 是 $X$ 的连通子集,那么 $f(E)$ 是 $Y$ 的连通子集.证明:假设 $f(E)$ 不是 $Y$ 的连通子集,则 $f(E)$ 可以分解成两个不相交集合 $A$ 和 $B$ ...
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摘要：设 $X$ 是实直线 $\mathbf{R}$ 的子集合,那么下述命题等价. (a) $X$ 是连通的. (b) 只要 $x,y\in X$,并且 $x<y$,就有 $[x,y]\subseteq X$.证明:(a)$\Rightarrow $(b) 假若存在 $x,y\in X$,并且 $x<y$...
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摘要：设 $X$ 是实直线 $\mathbf{R}$ 的子集合,那么下述命题等价. (a) $X$ 是连通的. (b) 只要 $x,y\in X$,并且 $x<y$,就有 $[x,y]\subseteq X$.证明:(a)$\Rightarrow $(b) 假若存在 $x,y\in X$,并且 $x<y$...
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摘要：设 $(X,d_X)$ 和 $(Y,d_Y)$ 都是度量空间,假定 $(X,d_X)$ 是紧致的,如果 $f:X\to Y$ 是函数,那么 $f$ 是连续的当且仅当 $f$ 是一致连续的.证明:当 $f$ 是一致连续时,$f$ 显然是连续的.我们主要证明 $f$ 连续时一致连续.我们采用反证法,假若...
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摘要：设 $(X,d_X)$ 和 $(Y,d_Y)$ 都是度量空间,假定 $(X,d_X)$ 是紧致的,如果 $f:X\to Y$ 是函数,那么 $f$ 是连续的当且仅当 $f$ 是一致连续的.证明:当 $f$ 是一致连续时,$f$ 显然是连续的.我们主要证明 $f$ 连续时一致连续.我们采用反证法,假若...
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摘要：设 $(X,d)$ 是紧致度量空间,并设 $f:X\to\mathbf{R}$ 是连续函数,那么 $f$ 是有界的.更进一步, $f$ 在某点 $x_{\max}\in X$ 达到它的最大值,也在某点 $x_{\min}$ 达到它的最小值.证明:我先证明 $f$ 在 $X$ 上有界.根据 陶哲轩实分...
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摘要：设 $(X,d)$ 是紧致度量空间,并设 $f:X\to\mathbf{R}$ 是连续函数,那么 $f$ 是有界的.更进一步, $f$ 在某点 $x_{\max}\in X$ 达到它的最大值,也在某点 $x_{\min}$ 达到它的最小值.证明:我先证明 $f$ 在 $X$ 上有界.根据 陶哲轩实分...
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摘要：设 $(X,d_X)$ 是度量空间,并设 $(Y,d_Y)$ 是另一个度量空间.设 $f:X\to Y$是函数,那么 $f$ 是连续的可以推出(c)只要 $V$ 是 $Y$ 中的开集,集合 $f^{-1}(V):=\{x\in X:f(x)\in V\}$ 就 是 $X$ 中的开集.\begin{p...
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摘要：设 $(X,d_X)$ 是度量空间,并设 $(Y,d_Y)$ 是另一个度量空间.设 $f:X\to Y$是函数,那么 $f$ 是连续的可以推出(c)只要 $V$ 是 $Y$ 中的开集,集合 $f^{-1}(V):=\{x\in X:f(x)\in V\}$ 就 是 $X$ 中的开集.\begin{p...
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摘要：设 $(X,d)$ 是紧致度量空间.假设 $(K_{\alpha})_{\alpha\in I}$ 是 $X$ 中 的一个闭子集族,它具有这样的性质:对于一切有限集 $F\subset I$,$\bigcap_{\alpha\in F}K_{\alpha}\neq\emptyset$.证明$\big...
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摘要：设 $(X,d)$ 是紧致度量空间.假设 $(K_{\alpha})_{\alpha\in I}$ 是 $X$ 中 的一个闭子集族,它具有这样的性质:对于一切有限集 $F\subset I$,$\bigcap_{\alpha\in F}K_{\alpha}\neq\emptyset$.证明$\big...
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摘要：设 $(X,d)$ 是度量空间,$E$ 是 $X$ 的非空紧致子集合,并设 $x_0$ 是 $X$ 的点.证明:存在 $x\in E$,使得 $$ d(x_0,x)=\inf\{d(x_0,y):y\in E\} $$\begin{proof} 由于 $\forall y\in E$,$d(x_0,...
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摘要：设 $(X,d)$ 是度量空间,$E$ 是 $X$ 的非空紧致子集合,并设 $x_0$ 是 $X$ 的点.证明:存在 $x\in E$,使得 $$ d(x_0,x)=\inf\{d(x_0,y):y\in E\} $$\begin{proof} 由于 $\forall y\in E$,$d(x_0,...
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摘要：设 $E$ 和 $F$ 是 $\mathbf{R}$ (带有标准度量)的两个紧致子集合,证明笛卡 尔乘积 $E\times F:=\{(x,y):x\in E,y\in F\}$ 是 $\mathbf{R}^2$(带有欧几 里德度量 $d_{l^2}$)的紧致子集合.\begin{proof}对于 ...
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摘要：设 $E$ 和 $F$ 是 $\mathbf{R}$ (带有标准度量)的两个紧致子集合,证明笛卡 尔乘积 $E\times F:=\{(x,y):x\in E,y\in F\}$ 是 $\mathbf{R}^2$(带有欧几 里德度量 $d_{l^2}$)的紧致子集合.\begin{proof}对于 ...
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摘要：设 $(X,d_{disc})$ 是具有离散度量 $d_{disc}$ 的度量空间.(a)证明 $X$ 是完备的.\begin{proof}即证明 $X$ 的每个柯西列都收敛到 $X$ 中的一个元素.而事实上,$X$ 中的任意一个柯西列迟早都是同一个元素(为什么?),当然这个柯西列最终会收敛到这个元...
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摘要：设 $(X,d_{disc})$ 是具有离散度量 $d_{disc}$ 的度量空间.(a)证明 $X$ 是完备的.\begin{proof}即证明 $X$ 的每个柯西列都收敛到 $X$ 中的一个元素.而事实上,$X$ 中的任意一个柯西列迟早都是同一个元素(为什么?),当然这个柯西列最终会收敛到这个元...
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摘要：度量空间 $(X,d)$ 叫作是全有界的,如果对于每个 $\varepsilon>0$,都存在正整数 $n$ 和 $n$ 个球 $B(x^{(1)},\varepsilon),\cdots,B(x^{(n)},\varepsilon)$,它们覆盖 $X$.(a)证明:全有界的空间是有界的.\begi...
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摘要：设 $(X,d_{l_1})$ 是习题 12.1.15 中的度量空间.对于每个自然数 $n$,设$e^{(n)}=(e_j^{(n)})_{j=1}^{\infty}$ 是 $X$ 的元素,满足:当 $n=j$ 时$e_j^{(n)}:=1$ 而当 $n\neq j$ 时 $e_j^{(n)}:=0...
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摘要：设 $(X,d_{l_1})$ 是习题 12.1.15 中的度量空间.对于每个自然数 $n$,设$e^{(n)}=(e_j^{(n)})_{j=1}^{\infty}$ 是 $X$ 的元素,满足:当 $n=j$ 时$e_j^{(n)}:=1$ 而当 $n\neq j$ 时 $e_j^{(n)}:=0...
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摘要：设 $(\mathbf{R},d)$ 是带有标准度量的实直线,给出一个连续函数 $f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ 的例子,使有一个开集 $V\subseteq \mathbf{R}$ 而其象 $f(V):=\{f(x):x\in V\}$ 不是开集.例子:令 $V=\mathb...
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摘要：设 $(\mathbf{R},d)$ 是带有标准度量的实直线,给出一个连续函数 $f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ 的例子,使有一个开集 $V\subseteq \mathbf{R}$ 而其象 $f(V):=\{f(x):x\in V\}$ 不是开集.例子:令 $V=\mathb...
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摘要：设 $(X,d)$ 是度量空间.(a)如果 $Y$ 是 $X$ 的紧致子集合,并且 $Z\subseteq Y$,那么 $Z$ 是紧致的当且仅当 $Z$ 是闭的.\begin{proof}当 $Z$ 是紧的,$Z$ 显然是闭的.当 $Z$ 是闭的时候,$Z$ 中的任何一个序列都是 $Y$ 中的序列,...
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摘要：设 $(X,d)$ 是度量空间.(a)如果 $Y$ 是 $X$ 的紧致子集合,并且 $Z\subseteq Y$,那么 $Z$ 是紧致的当且仅当 $Z$ 是闭的.\begin{proof}当 $Z$ 是紧的,$Z$ 显然是闭的.当 $Z$ 是闭的时候,$Z$ 中的任何一个序列都是 $Y$ 中的序列,...
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摘要：设 $(X,d)$ 是度量空间,并设 $K_1,K_2,K_3,\cdots$ 是 $X$ 的非空紧致子集合的一个序列,满足$$K_1\supset K_2\supset K_3\supset\cdots$$那么交集 $\bigcap_{n=1}^{\infty}K_n$ 非空.\begin{pro...
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摘要：设 $(X,d)$ 是度量空间,并设 $K_1,K_2,K_3,\cdots$ 是 $X$ 的非空紧致子集合的一个序列,满足$$K_1\supset K_2\supset K_3\supset\cdots$$那么交集 $\bigcap_{n=1}^{\infty}K_n$ 非空.\begin{pro...
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摘要：\author{叶卢庆}\email{h5411167@gmail.com}笔者近日在证明度量空间中的有限覆盖定理的过程中发展了自己关于多重聚点的想法,现在记录如下.设 $Y$ 是度量空间 $(X,d)$ 中的紧致子集,且 $Y$ 是无限集,则 $Y$ 在 $(X,d)$ 中有聚点,我们把 $Y$ ...
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摘要：\author{叶卢庆}\email{h5411167@gmail.com}笔者近日在证明度量空间中的有限覆盖定理的过程中发展了自己关于多重聚点的想法,现在记录如下.设 $Y$ 是度量空间 $(X,d)$ 中的紧致子集,且 $Y$ 是无限集,则 $Y$ 在 $(X,d)$ 中有聚点,我们把 $Y$ ...
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