02 2013 档案
摘要：设 $(X,d)$ 是度量空间,$Y$ 是 $(X,d)$ 上的非空开集.则 $Y$ 可以表示成 $(X,d)$ 中互不相交的开球的并.证明:由于 $Y$ 是 $(X,d)$ 上的非空开集,因此存在http://jaxedit.com/note/?10020
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摘要：设 $(X,d)$ 是度量空间,$Y$ 是 $(X,d)$ 上的非空开集.则 $Y$ 可以表示成 $(X,d)$ 中互不相交的开球的并.证明:由于 $Y$ 是 $(X,d)$ 上的非空开集,因此存在http://jaxedit.com/note/?10020
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摘要：设度量空间 $(X,d)$，且 $(X,d)$ 是一个完备且有界的度量空间, 那么 $(X,d)$不一定是紧致的度量空间.陶哲轩在推论 12.5.6 之后给出了一个例子来说明这种现象.现在我从证明的角度来解释,在证明这个错误命题的时候会遇到什么不可克服的障碍.我们知道,如果 $(X,d)$ 是 $(...
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摘要：设度量空间 $(X,d)$，且 $(X,d)$ 是一个完备且有界的度量空间, 那么 $(X,d)$不一定是紧致的度量空间.陶哲轩在推论 12.5.6 之后给出了一个例子来说明这种现象.现在我从证明的角度来解释,在证明这个错误命题的时候会遇到什么不可克服的障碍.我们知道,如果 $(X,d)$ 是 $(...
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摘要：无论是生活在$[0,1)$中的小芳,还是生活在$[0,1]$中的小明,都认为他们所在的世界没有边界点.然而生活在$[-1,1)$的小亮却发现,0真的是小芳和小明所在世界的边界点.就像一个人从来都不能发现自己的缺点,要等待别人去发现一样.就像站在地上的人从来不觉得地球是圆的一样,小亮也没有发现自己的边...
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摘要：无论是生活在$[0,1)$中的小芳,还是生活在$[0,1]$中的小明,都认为他们所在的世界没有边界点.然而生活在$[-1,1)$的小亮却发现,0真的是小芳和小明所在世界的边界点.就像一个人从来都不能发现自己的缺点,要等待别人去发现一样.就像站在地上的人从来不觉得地球是圆的一样,小亮也没有发现自己的边...
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摘要：有一群一维小生物,他们生活在区间$[0,1]$中,这群一维生物中有数学家.这群数学家们过着幸福美满的生活,因为他们发现每个柯西列都收敛到一个实数.另外一群一维小生物，他们生活在区间$[0,1)$中，他们也有一群数学家，但是生活在$[0,1)$中的数学家们却过着悲催的生活，因为他们发现了很多柯西列收敛...
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摘要：有一群一维小生物,他们生活在区间$[0,1]$中,这群一维生物中有数学家.这群数学家们过着幸福美满的生活,因为他们发现每个柯西列都收敛到一个实数.另外一群一维小生物，他们生活在区间$[0,1)$中，他们也有一群数学家，但是生活在$[0,1)$中的数学家们却过着悲催的生活，因为他们发现了很多柯西列收敛...
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摘要：什么时候单点集也可以是开集?答案是,相对而言的时候!举一个简单的例子,我们知道,在标准度量下,$(0,1)$在$\mathbb{R}$上是开集,但是放在$\mathbb{R}^2$的框架中看,$(0,1)$既不是开集又不是闭集.可见,当我们谈论开集和闭集的时候,总要考虑是在什么框架下思考的.比如,在...
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摘要：什么时候单点集也可以是开集?答案是,相对而言的时候!举一个简单的例子,我们知道,在标准度量下,$(0,1)$在$\mathbb{R}$上是开集,但是放在$\mathbb{R}^2$的框架中看,$(0,1)$既不是开集又不是闭集.可见,当我们谈论开集和闭集的时候,总要考虑是在什么框架下思考的.比如,在...
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摘要：设 $(X,d)$ 是度量空间,$x_0$ 是 $X$ 的点,并且 $r>0$.设 $B$ 是开球 $B:=B(x_0,r)=\{x\in X:d(x,x_0)r$.显然 $m\in\overline{B}\backslash B$ (为什么?),所以 $m$ 只能是 $B$ 的聚点,且 $m$ 是...
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摘要：设 $(X,d)$ 是度量空间,$x_0$ 是 $X$ 的点,并且 $r>0$.设 $B$ 是开球 $B:=B(x_0,r)=\{x\in X:d(x,x_0)r$.显然 $m\in\overline{B}\backslash B$ (为什么?),所以 $m$ 只能是 $B$ 的聚点,且 $m$ 是...
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摘要：这是我很久以前写的一份文档,现在贴到这里.我们讨论问题的框架是$\mathbb{\mathbb{R}}^n$.定义:$p=(p_1,\cdots,p_n)\in \mathbb{R}^{n},\mbox{集合}\{q=(q_1,\cdots,q_n)||q_1-p_1|<\varepsilon_1,...
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摘要：这是我很久以前写的一份文档,现在贴到这里.我们讨论问题的框架是$\mathbb{\mathbb{R}}^n$.定义:$p=(p_1,\cdots,p_n)\in \mathbb{R}^{n},\mbox{集合}\{q=(q_1,\cdots,q_n)||q_1-p_1|<\varepsilon_1,...
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摘要：设 $X$ 是集合,并设 $d:X\times X\to [0,+\infty)$ 是函数.(a)给出一个服从定义 12.1.2 的公理 (b),(c),(d) 但不服从 (a) 的 $(X,d)$ 的例子.解:$\forall x,y\in X$,令 $d(x,y)=1$.(b)给出一个服从定义 ...
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摘要：设 $X$ 是集合,并设 $d:X\times X\to [0,+\infty)$ 是函数.(a)给出一个服从定义 12.1.2 的公理 (b),(c),(d) 但不服从 (a) 的 $(X,d)$ 的例子.解:$\forall x,y\in X$,令 $d(x,y)=1$.(b)给出一个服从定义 ...
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摘要：Let $X$ be any nonempty set.For any $x,y\in X$,define$d(x,y)=1$ if $x\neq y$$d(x,y)=0$ if $x=y$.Then $(X,d)$ is a metric space.The metric $d$ is calle...
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摘要：Let $X$ be any nonempty set.For any $x,y\in X$,define$d(x,y)=1$ if $x\neq y$$d(x,y)=0$ if $x=y$.Then $(X,d)$ is a metric space.The metric $d$ is calle...
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摘要：设 $[a,b]$ 是闭区间,并设\begin{align*} \phi:[a,b]\to [\phi(a),\phi(b)]\end{align*}是可微的单调增函数,而且 $\phi'$ 是黎曼可积的.设$f:[\phi(a),\phi(b)]\to\mathbf{R}$ 是在 $[\phi(a...
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摘要：设 $[a,b]$ 是闭区间,并设\begin{align*} \phi:[a,b]\to [\phi(a),\phi(b)]\end{align*}是可微的单调增函数,而且 $\phi'$ 是黎曼可积的.设$f:[\phi(a),\phi(b)]\to\mathbf{R}$ 是在 $[\phi(a...
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摘要：代码如下: 1 import settings; 2 settings.tex = "pdflatex"; 3 pdfviewer="/usr/bin/okular"; 4 outformat="pdf"; 5 texpreamble("\usepackage{CJKutf8}\AtBegi...
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摘要：代码如下: 1 import settings; 2 settings.tex = "pdflatex"; 3 pdfviewer="/usr/bin/okular"; 4 outformat="pdf"; 5 texpreamble("\usepackage{CJKutf8}\AtBegi...
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摘要：代码如下:import settings; settings.tex = "pdflatex"; pdfviewer="/usr/bin/okular"; outformat="pdf"; texpreamble("\usepackage{CJKutf8}\AtBeginDocument{\begi...
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摘要：代码如下:import settings; settings.tex = "pdflatex"; pdfviewer="/usr/bin/okular"; outformat="pdf"; texpreamble("\usepackage{CJKutf8}\AtBeginDocument{\begi...
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摘要：代码如下: 1 import settings; 2 settings.tex = "pdflatex"; 3 pdfviewer="/usr/bin/okular"; 4 outformat="pdf"; 5 texpreamble("\usepackage{CJKutf8}\AtBeginDoc...
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摘要：代码如下: 1 import settings; 2 settings.tex = "pdflatex"; 3 pdfviewer="/usr/bin/okular"; 4 outformat="pdf"; 5 texpreamble("\usepackage{CJKutf8}\AtBeginDoc...
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摘要：看这个代码: 1 import settings; 2 settings.tex = "pdflatex"; 3 pdfviewer="/usr/bin/okular"; 4 outformat="pdf"; 5 texpreamble("\usepackage{CJKutf8}\AtBeginDo...
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摘要：看这个代码: 1 import settings; 2 settings.tex = "pdflatex"; 3 pdfviewer="/usr/bin/okular"; 4 outformat="pdf"; 5 texpreamble("\usepackage{CJKutf8}\AtBeginDo...
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摘要：我在Asymptote 学习记录(3) 画赵爽弦图练习 里画了赵爽弦图,不过方法比较笨.下面用旋转和平移画出那四个三角形.得到的图像和Asymptote 学习记录(3) 画赵爽弦图练习 里的图像一样.在桌面建立test.asy文档,文档内容如下: 1 import settings; 2 sett...
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摘要：我在Asymptote 学习记录(3) 画赵爽弦图练习 里画了赵爽弦图,不过方法比较笨.下面用旋转和平移画出那四个三角形.得到的图像和Asymptote 学习记录(3) 画赵爽弦图练习 里的图像一样.在桌面建立test.asy文档,文档内容如下: 1 import settings; 2 sett...
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摘要：我在看下面这个很好的文档.看完了第一部分,我自己试着画了个赵爽弦图.代码如下: 1 import settings; 2 settings.tex = "pdflatex"; 3 pdfviewer="/usr/bin/okular"; 4 outformat="pdf"; 5 size(400);...
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摘要：我在看下面这个很好的文档.看完了第一部分,我自己试着画了个赵爽弦图.代码如下: 1 import settings; 2 settings.tex = "pdflatex"; 3 pdfviewer="/usr/bin/okular"; 4 outformat="pdf"; 5 size(400);...
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摘要：学习编程的一个有效方式是去读别人写的代码.我学习了这里的代码.代码虽多,但是简单.代码如下(稍微做了修改):import settings;pdfviewer="/usr/bin/okular";outformat="pdf";size(400);texpreamble("\usepackage{C...
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摘要：学习编程的一个有效方式是去读别人写的代码.我学习了这里的代码.代码虽多,但是简单.代码如下(稍微做了修改):import settings;pdfviewer="/usr/bin/okular";outformat="pdf";size(400);texpreamble("\usepackage{C...
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摘要：今天我安装了Asymptote,这是一款强大的数学绘画软件.在Ubuntu的软件中心便可以下载到2.15版(2013.2.17).安装完后,要运行它,只要在终端输入 asy,再按一下enter即可.可能这时会出现问题error while loading shared libraries: libr...
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摘要：今天我安装了Asymptote,这是一款强大的数学绘画软件.在Ubuntu的软件中心便可以下载到2.15版(2013.2.17).安装完后,要运行它,只要在终端输入 asy,再按一下enter即可.可能这时会出现问题error while loading shared libraries: libr...
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摘要：Darboux 中值定理是反映导函数介值性的一个定理.陈述如下:(Darboux 中值定理)若函数 $F(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导,$\alpha,\beta\in (a,b)$,且 $\alpha 0$,则根据引理,可得存在 $\xi\in (\alpha,\beta)$,使得 \beg...
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摘要：Darboux 中值定理是反映导函数介值性的一个定理.陈述如下:(Darboux 中值定理)若函数 $F(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导,$\alpha,\beta\in (a,b)$,且 $\alpha 0$,则根据引理,可得存在 $\xi\in (\alpha,\beta)$,使得 \beg...
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摘要：在很久以前(2年之前),我使用的是新浪博客和网易博客.那都是些垃圾博客,不支持数学公式,而且娱乐性太强.后来我翻.墙到国外的wordpress.com注册了一个博客写数学,但是wordpress自带的数学公式支持很naive,而且作为wordpress.com的普通用户,我没有安装插件的特权,而且w...
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摘要：在很久以前(2年之前),我使用的是新浪博客和网易博客.那都是些垃圾博客,不支持数学公式,而且娱乐性太强.后来我翻.墙到国外的wordpress.com注册了一个博客写数学,但是wordpress自带的数学公式支持很naive,而且作为wordpress.com的普通用户,我没有安装插件的特权,而且w...
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摘要：若函数$f(x)$在$(a,b)$内可导,$\alpha,\beta\in (a,b)$,且$\alpha<\beta$,且$f(\alpha)<f(\beta)$,则对于任意的$k\in (f'(\alpha),f'(\beta))$,必定存在$\xi\in (\alpha,\beta)$,使得$...
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摘要：若函数$f(x)$在$(a,b)$内可导,$\alpha,\beta\in (a,b)$,且$\alpha<\beta$,且$f(\alpha)<f(\beta)$,则对于任意的$k\in (f'(\alpha),f'(\beta))$,必定存在$\xi\in (\alpha,\beta)$,使得$...
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摘要：(a)如果在$[a,b]$上$f_1\in\mathcal{R}(\alpha)$且$f_2\in\mathcal{R}(\alpha)$,那么对于任意的常数$c_1,c_2$,$$c_1f_1+c_2f_2\in\mathcal{R}(\alpha)$$并且$$\int_a^b(c_1f_1+c_...
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摘要：(a)如果在$[a,b]$上$f_1\in\mathcal{R}(\alpha)$且$f_2\in\mathcal{R}(\alpha)$,那么对于任意的常数$c_1,c_2$,$$c_1f_1+c_2f_2\in\mathcal{R}(\alpha)$$并且$$\int_a^b(c_1f_1+c_...
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摘要：假设$f$在$[a,b]$上有界，且只有有限个间断点，$\alpha$在$f$的每个间断点上连续，那么$f\in\mathcal{R}(a)$.该命题的证明大略如下:将$[a,b]$$n$等分,等分点为$x_0=a,x_1,\cdots,x_n=b$.我们来看$$\left(\sup_f[x_i,x...
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摘要：假设$f$在$[a,b]$上有界，且只有有限个间断点，$\alpha$在$f$的每个间断点上连续，那么$f\in\mathcal{R}(a)$.该命题的证明大略如下:将$[a,b]$$n$等分,等分点为$x_0=a,x_1,\cdots,x_n=b$.我们来看$$\left(\sup_f[x_i,x...
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摘要：如果$f$在$[a,b]$上单调，$\alpha$是在$[a,b]$上单调递增的连续函数，则$f\in\mathcal{R}(\alpha)$.证明：我当然是先证明一个稍微简单一点的命题：若$f$是$[a,b]$上的单调递增函数，则$f$在$[a,b]$上黎曼可积.证明：设$P$是$[a,b]$的一...
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摘要：如果$f$在$[a,b]$上单调，$\alpha$是在$[a,b]$上单调递增的连续函数，则$f\in\mathcal{R}(\alpha)$.证明：我当然是先证明一个稍微简单一点的命题：若$f$是$[a,b]$上的单调递增函数，则$f$在$[a,b]$上黎曼可积.证明：设$P$是$[a,b]$的一...
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摘要：如果$f$在$[a,b]$上连续，$\alpha$在$[a,b]$上是有界变差函数,则$f\in\bf {R}(\alpha)[a,b]$.证明:由于$f$在$[a,b]$上连续，因此$f$在$[a,b]$上一致连续.即对于任意给定的正实数$\varepsilon$,都存在相应的正实数$\delta...
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摘要：如果$f$在$[a,b]$上连续，$\alpha$在$[a,b]$上是有界变差函数,则$f\in\bf {R}(\alpha)[a,b]$.证明:由于$f$在$[a,b]$上连续，因此$f$在$[a,b]$上一致连续.即对于任意给定的正实数$\varepsilon$,都存在相应的正实数$\delta...
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摘要：如果$f$在$[a,b]$上连续，则在$[a,b]$上，$f\in\mathcal{R}(\alpha)$.证明：我以前证明了闭区间上的连续函数是可以进行黎曼积分的.如下：$f$在$[a,b]$上连续，所以$f$在$[a,b]$上[一致连续].即$\forall \varepsilon>0,\exi...
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摘要：如果$f$在$[a,b]$上连续，则在$[a,b]$上，$f\in\mathcal{R}(\alpha)$.证明：我以前证明了闭区间上的连续函数是可以进行黎曼积分的.如下：$f$在$[a,b]$上连续，所以$f$在$[a,b]$上[一致连续].即$\forall \varepsilon>0,\exi...
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摘要：$$\underline{\int}_a^bfd\alpha\leq \overline{\int}_a^bfd\alpha$$证明：我们先分析为什么它对于Riemann积分会成立.我们发现之所以对于Riemann积分会成立的缘故，乃是由于数学分析原理_定理6.4结合"两个划分的加细"，再结合下面的...
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摘要：$$\underline{\int}_a^bfd\alpha\leq \overline{\int}_a^bfd\alpha$$证明：我们先分析为什么它对于Riemann积分会成立.我们发现之所以对于Riemann积分会成立的缘故，乃是由于数学分析原理_定理6.4结合"两个划分的加细"，再结合下面的...
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摘要：如果$P*$是$P$的加细，那么$$L(P,f,\alpha)\leq L(P^*,f,\alpha)$$且$$U(P^*,f,\alpha)\leq U(P,f,\alpha)$$证明：这两个命题对于Riemann积分来说是显然成立的，之所以对于Riemann-Stieltjes积分也成立，是因为...
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摘要：如果$P*$是$P$的加细，那么$$L(P,f,\alpha)\leq L(P^*,f,\alpha)$$且$$U(P^*,f,\alpha)\leq U(P,f,\alpha)$$证明：这两个命题对于Riemann积分来说是显然成立的，之所以对于Riemann-Stieltjes积分也成立，是因为...
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摘要：$f$是$[a,b]$上的函数，$f$是有界变差函数当且仅当$f$可以表示为$[a,b]$上两个增函数之差.证明：$\Leftarrow$:根据数学分析_Tom M.Apostol_定理6.5，可知$[a,b]$上的两个增函数都是$[a,b]$上的有界变差函数.而且，同一个闭区间上两个有界变差函数的...
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摘要：$f$是$[a,b]$上的函数，$f$是有界变差函数当且仅当$f$可以表示为$[a,b]$上两个增函数之差.证明：$\Leftarrow$:根据数学分析_Tom M.Apostol_定理6.5，可知$[a,b]$上的两个增函数都是$[a,b]$上的有界变差函数.而且，同一个闭区间上两个有界变差函数的...
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摘要：设$f,g$是$[a,b]$上的[有界变差函数],则$f+g$也是$[a,b]$上的有界变差函数.证明：设$P=\{x_0,\cdots,x_n\}$是对$[a,b]$的任意分割.由于$f$是$[a,b]$上的有界变差函数，因此$$\sum_{i=0}^{n-1}|f(x_{i+1})-f(x_i)...
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摘要：设$f,g$是$[a,b]$上的[有界变差函数],则$f+g$也是$[a,b]$上的有界变差函数.证明：设$P=\{x_0,\cdots,x_n\}$是对$[a,b]$的任意分割.由于$f$是$[a,b]$上的有界变差函数，因此$$\sum_{i=0}^{n-1}|f(x_{i+1})-f(x_i)...
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摘要：如果$f$在$[a,b]$上是有界变差函数，即对于$[a,b]$的全部[分划]都有$\sum|\Delta f_k|\leq M$,则$f$在$[a,b]$上是有界的，事实上对于$[a,b]$内的一切$x$都有$$|f(x)|\leq |f(a)|+M$$证明：很简单.$\forall c\in [...
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摘要：如果$f$在$[a,b]$上是有界变差函数，即对于$[a,b]$的全部[分划]都有$\sum|\Delta f_k|\leq M$,则$f$在$[a,b]$上是有界的，事实上对于$[a,b]$内的一切$x$都有$$|f(x)|\leq |f(a)|+M$$证明：很简单.$\forall c\in [...
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摘要：如果$f$在$[a,b]$上单调，则$f$是$[a,b]$上的有界变差函数.证明：不妨设$f$在$[a,b]$上递增.设$P=\{x_0,\cdots,x_n\}$是对区间$[a,b]$的任意分割,则$$\sum_{i=0}^{n-1}|f(x_{i+1})-f(x_i)|=\sum_{i=0}^{...
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摘要：如果$f$在$[a,b]$上单调，则$f$是$[a,b]$上的有界变差函数.证明：不妨设$f$在$[a,b]$上递增.设$P=\{x_0,\cdots,x_n\}$是对区间$[a,b]$的任意分割,则$$\sum_{i=0}^{n-1}|f(x_{i+1})-f(x_i)|=\sum_{i=0}^{...
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摘要：Let $f$ be continuous and Riemann integrable on $[a, b]$ and $f(x) \geq 0$ for all $x \in [a,b]$. I'm trying to show that if $\int^b_a f(x) \ dx = 0$ ...
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摘要：Let $f$ be continuous and Riemann integrable on $[a, b]$ and $f(x) \geq 0$ for all $x \in [a,b]$. I'm trying to show that if $\int^b_a f(x) \ dx = 0$ ...
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摘要：设$I$是有界区间,并设$f:I\to\mathbf{R}$与$g:I\to\mathbf{R}$都是$\bf{Riemann}$可积函数,那么由$$\max(f,g)(x):=\max(f(x),g(x))$$定义的函数$\max(f,g)$以及由$$\min(f,g):=\min((f(x),g...
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摘要：设$I$是有界区间,并设$f:I\to\mathbf{R}$与$g:I\to\mathbf{R}$都是$\bf{Riemann}$可积函数,那么由$$\max(f,g)(x):=\max(f(x),g(x))$$定义的函数$\max(f,g)$以及由$$\min(f,g):=\min((f(x),g...
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摘要：设$X$是实直线的子集合，那么下述两命题是逻辑等价的. (a)$X$是有界的并且是连通的. (b)$X$是有界区间. 证明:当$X$是空集时，两个命题显然是逻辑等价的. 当$X$是非空集合时，(a)$\Rightarrow$(b):由于$X$非空，且$X$有界，因此$X$有上确界$\sup (X)...
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摘要：设$X$是实直线的子集合，那么下述两命题是逻辑等价的. (a)$X$是有界的并且是连通的. (b)$X$是有界区间. 证明:当$X$是空集时，两个命题显然是逻辑等价的. 当$X$是非空集合时，(a)$\Rightarrow$(b):由于$X$非空，且$X$有界，因此$X$有上确界$\sup (X)...
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摘要：举两个不能使用洛必达法则的例子.例1.$$\lim_{x\to 0}\frac{x}{1+x}$$如果此例用了洛必达法则,则$$\lim_{x\to 0}\frac{x}{1+x}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{1}=1.$$这显然是错误的.$\frac{0}{0}$型洛必达法则:当$...
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摘要：举两个不能使用洛必达法则的例子.例1.$$\lim_{x\to 0}\frac{x}{1+x}$$如果此例用了洛必达法则,则$$\lim_{x\to 0}\frac{x}{1+x}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{1}=1.$$这显然是错误的.$\frac{0}{0}$型洛必达法则:当$...
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摘要：构造一个子集$X\subset \mathbf{R}$和一个函数$f:X\to \mathbf{R}$,使得$f$在$X$上可微，并且对于一切$x\in X$,$f'(x)>0$,但是$f$不是严格单调递增的.解:令$X=(0,1)\bigcup (1,2)$.当$x\in (0,1)$时，令$f(...
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摘要：构造一个子集$X\subset \mathbf{R}$和一个函数$f:X\to \mathbf{R}$,使得$f$在$X$上可微，并且对于一切$x\in X$,$f'(x)>0$,但是$f$不是严格单调递增的.解:令$X=(0,1)\bigcup (1,2)$.当$x\in (0,1)$时，令$f(...
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摘要：设$f:\mathbf{R}\to \mathbf{R}$是可微函数，并且$f'$是有界的，证明$f$是一致连续的.证明:设 \begin{align*} a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots \end{align*}是$\mathbf{R}$上的任意一个数列.设 \begin{ali...
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摘要：设$f:\mathbf{R}\to \mathbf{R}$是可微函数，并且$f'$是有界的，证明$f$是一致连续的.证明:设 \begin{align*} a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots \end{align*}是$\mathbf{R}$上的任意一个数列.设 \begin{ali...
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摘要：设$[a,b]$是$\mathbf{R}$上的闭区间,且$f(x)$是$[a,b]$上的连续函数,则$f(x)$在$[a,b]$上一致连续.证明:反证法.假设$f(x)$在$[a,b]$上不是一致连续的,则必定存在这么两个序列,其中$$a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$$是$[a,...
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摘要：设$[a,b]$是$\mathbf{R}$上的闭区间,且$f(x)$是$[a,b]$上的连续函数,则$f(x)$在$[a,b]$上一致连续.证明:反证法.假设$f(x)$在$[a,b]$上不是一致连续的,则必定存在这么两个序列,其中$$a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$$是$[a,...
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摘要：$\mathbf{R}^n$中的紧集是闭有界集.证明：先证明$\mathbf{R}$中的紧集是闭有界集.设$S$是$\mathbf{R}$中的紧集.先证$R\backslash S$是开集.证明采用反证法.假设$R\backslash S$不是开集，则$\exists p\in R\backslas...
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摘要：$\mathbf{R}^n$中的紧集是闭有界集.证明：先证明$\mathbf{R}$中的紧集是闭有界集.设$S$是$\mathbf{R}$中的紧集.先证$R\backslash S$是开集.证明采用反证法.假设$R\backslash S$不是开集，则$\exists p\in R\backslas...
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摘要：设$S\subset \mathbb{R}$,且$\forall s\in S$,$s$都是$S$的孤立点.则$S$是至多可数集.证明：见开集的构造中的引理.注:利用这个结论可以证明一个看起来不太显然的题：$X$是一个不可数的集合,里面的元素都是非负实数.从里面挑出任意多个(但必须是有限个)元素加起...
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摘要：设$S\subset \mathbb{R}$,且$\forall s\in S$,$s$都是$S$的孤立点.则$S$是至多可数集.证明：见开集的构造中的引理.注:利用这个结论可以证明一个看起来不太显然的题：$X$是一个不可数的集合,里面的元素都是非负实数.从里面挑出任意多个(但必须是有限个)元素加起...
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摘要：$\bf{Lindelöf}$覆盖定理:假定$A\subseteq \mathbb{R}$,并设$F$是$A$的一个无限开覆盖，则存在$F$的可数子集也覆盖$A$.本文给出与数学分析(Tom M.Apostol)3.1.10 节中对于$\bf{Lindelöf}$覆盖定理的一个不同证明方法.由于$F...
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摘要：$\bf{Lindelöf}$覆盖定理:假定$A\subseteq \mathbb{R}$,并设$F$是$A$的一个无限开覆盖，则存在$F$的可数子集也覆盖$A$.本文给出与数学分析(Tom M.Apostol)3.1.10 节中对于$\bf{Lindelöf}$覆盖定理的一个不同证明方法.由于$F...
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摘要：有限覆盖定理:设$M$是$\mathbf{R}$上的有界闭集.$I$是无限集,$\forall i\in I$,$B_i$都是$\mathbf{R}$上的任意开集.且$M\subseteq \bigcup_{i\in I}B_i$.则必存在$I$的有限子集$S$,使得$M\subseteq \big...
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摘要：有限覆盖定理:设$M$是$\mathbf{R}$上的有界闭集.$I$是无限集,$\forall i\in I$,$B_i$都是$\mathbf{R}$上的任意开集.且$M\subseteq \bigcup_{i\in I}B_i$.则必存在$I$的有限子集$S$,使得$M\subseteq \big...
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摘要：设$F$是一个域，则$F$上的全矩阵环$M_n(F)$是单环.这道题在近世代数导引中是用矩阵的知识将其证明,我开始时不会做,看了书上的证明之后,仍觉得思路是书上的,没有融入自己(我有时候觉得不是自己想出来的东西与自己有隔阂,虽然有人说,要大胆地把别人的想法据为己有,但是,真正做起来很难,总觉得别人的...
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摘要：设$F$是一个域，则$F$上的全矩阵环$M_n(F)$是单环.这道题在近世代数导引中是用矩阵的知识将其证明,我开始时不会做,看了书上的证明之后,仍觉得思路是书上的,没有融入自己(我有时候觉得不是自己想出来的东西与自己有隔阂,虽然有人说,要大胆地把别人的想法据为己有,但是,真正做起来很难,总觉得别人的...
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摘要：我给王昆扬老师发《陶哲轩实分析》部分勘误，他来访问我的博客,看到我对实数的构造理论感兴趣,就给我发了一些他的09年写的两篇宣传材料以及他去年整理的关于实数的表示的稿子Cantor之路.（在一些研讨会上报告过）详细如下:Cantor之路, 实数的表示,实数.然后我给他回了信.内容如下:王老师,谢谢您发...
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摘要：我给王昆扬老师发《陶哲轩实分析》部分勘误，他来访问我的博客,看到我对实数的构造理论感兴趣,就给我发了一些他的09年写的两篇宣传材料以及他去年整理的关于实数的表示的稿子Cantor之路.（在一些研讨会上报告过）详细如下:Cantor之路, 实数的表示,实数.然后我给他回了信.内容如下:王老师,谢谢您发...
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摘要：令$a,b\in\mathbf{R}$,形如$(a,b)$,$(a,+\infty)$,$(-\infty,b)$,$(-\infty,+\infty)$的区间叫$\mathbf{R}$上的开区间.设$J$是非空集合,$M$是$\mathbf{R}$的非空子集.$\forall i\in J$,$A...
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摘要：令$a,b\in\mathbf{R}$,形如$(a,b)$,$(a,+\infty)$,$(-\infty,b)$,$(-\infty,+\infty)$的区间叫$\mathbf{R}$上的开区间.设$J$是非空集合,$M$是$\mathbf{R}$的非空子集.$\forall i\in J$,$A...
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