01 2013 档案
摘要：如$A\subset [0,1]$是这样一些开区间$(a_i,b_i)$的并集，使得$(0,1)$中的每一有理数包含在某个$(a_i,b_i)$内，求证$A$的边界=$[0,1]-A$.证明：$[0,1]-A$中的点只能是$A$的边界点或外点.下证不可能是$A$的外点.如果是$A$的外点，则这个点的...
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摘要：如$A\subset [0,1]$是这样一些开区间$(a_i,b_i)$的并集，使得$(0,1)$中的每一有理数包含在某个$(a_i,b_i)$内，求证$A$的边界=$[0,1]-A$.证明：$[0,1]-A$中的点只能是$A$的边界点或外点.下证不可能是$A$的外点.如果是$A$的外点，则这个点的...
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摘要：这是我在两年前写的一点东西,现在稍微整理一下，删去了错误的内容，贴到这里.一个函数在某一点处连续的定义是：$$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$$.这条式子说的是：对于任意给定的$\varepsilon >0$,都存在$ \delta >0$,使得$|x-a|$0.则$f(x)$在$[a...
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摘要：这是我在两年前写的一点东西,现在稍微整理一下，删去了错误的内容，贴到这里.一个函数在某一点处连续的定义是：$$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$$.这条式子说的是：对于任意给定的$\varepsilon >0$,都存在$ \delta >0$,使得$|x-a|$0.则$f(x)$在$[a...
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摘要：Let $X$ be a set, and let $\Omega$ be the space of all pairs $(Y,\leq)$,where $Y$ is a subset of $X$ and $\leq$ is a well ordering of $Y$.If $(Y,\leq)...
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摘要：Let $X$ be a set, and let $\Omega$ be the space of all pairs $(Y,\leq)$,where $Y$ is a subset of $X$ and $\leq$ is a well ordering of $Y$.If $(Y,\leq)...
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摘要：Let $X$ be a set,and let $\Omega\subset 2^X$ be a collection of subsets of $X$.Assume that $\Omega$ does not contain the empty set $\emptyset$”.Using ...
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摘要：Let $X$ be a set,and let $\Omega\subset 2^X$ be a collection of subsets of $X$.Assume that $\Omega$ does not contain the empty set $\emptyset$”.Using ...
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摘要：本习题中，我们举一个在有理数处间断然而在无理数处连续的函数的例子.由于有理数集合是可数的，因此我们可以把它写成 \begin{align*} \mathbf{Q}=\{q(0),q(1),q(2),\cdots\} \end{align*}其中$q:\mathbf{N}\to\mathbf{Q}$是...
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摘要：本习题中，我们举一个在有理数处间断然而在无理数处连续的函数的例子.由于有理数集合是可数的，因此我们可以把它写成 \begin{align*} \mathbf{Q}=\{q(0),q(1),q(2),\cdots\} \end{align*}其中$q:\mathbf{N}\to\mathbf{Q}$是...
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摘要：设$f:[0,1]\to [0,1]$是连续函数，证明存在实数$x\in [0,1]$使得$f(x)=x$. 证明:令 \begin{align*} g(x)=f(x)-x \end{align*}则$g$在$[0,1]$连续， 假设不存在$\xi\in [0,1]$使得$g(\xi)=0$,则$g...
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摘要：设$f:[0,1]\to [0,1]$是连续函数，证明存在实数$x\in [0,1]$使得$f(x)=x$. 证明:令 \begin{align*} g(x)=f(x)-x \end{align*}则$g$在$[0,1]$连续， 假设不存在$\xi\in [0,1]$使得$g(\xi)=0$,则$g...
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摘要：设$p$为实数，那么由$f(x)=x^p$定义的函数$f:\mathbf{R}\to \mathbf{R}$是连续的.证明:即证明 \begin{align*} \lim_{x\to x_0}x^p=x_0^p \end{align*} 即证明 \begin{align*} \lim_{x\to x...
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摘要：设$p$为实数，那么由$f(x)=x^p$定义的函数$f:\mathbf{R}\to \mathbf{R}$是连续的.证明:即证明 \begin{align*} \lim_{x\to x_0}x^p=x_0^p \end{align*} 即证明 \begin{align*} \lim_{x\to x...
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摘要：设$a>0$是正实数，那么由$f(x):=a^x$定义的函数$f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$是连续的.证明:即证明$\forall x_0\in\mathbf{R}$,\begin{align*} \lim_{x\to x_0}a^x=a^{x_0}\end{align*}即证...
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摘要：设$a>0$是正实数，那么由$f(x):=a^x$定义的函数$f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$是连续的.证明:即证明$\forall x_0\in\mathbf{R}$,\begin{align*} \lim_{x\to x_0}a^x=a^{x_0}\end{align*}即证...
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摘要：$\mathbf{R}$上有限个闭集的并仍然是闭集(无限个闭集的并不一定).这个命题的证明很简单，我看到过的证明方法都是把它使用德-摩根公式转化为开集的相应命题来做的.但是我今天重新看了一下,觉得用极限点的观念来看格外直观和直接.现在用极限点的观念来看为什么有限个闭集的并仍然是闭集.设$I$是有限集...
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摘要：$\mathbf{R}$上有限个闭集的并仍然是闭集(无限个闭集的并不一定).这个命题的证明很简单，我看到过的证明方法都是把它使用德-摩根公式转化为开集的相应命题来做的.但是我今天重新看了一下,觉得用极限点的观念来看格外直观和直接.现在用极限点的观念来看为什么有限个闭集的并仍然是闭集.设$I$是有限集...
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摘要：设$X$是$\mathbf{R}$的子集合，证明$\overline{X}$是闭的.进而证明,若$Y$是包含$X$的闭集,那么$Y$也包含$\overline{X}$.证明:$\overline{X}$是闭集的证明请见这里.下面我来证明第二点. \begin{align*} \overline{X}...
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摘要：设$X$是$\mathbf{R}$的子集合，证明$\overline{X}$是闭的.进而证明,若$Y$是包含$X$的闭集,那么$Y$也包含$\overline{X}$.证明:$\overline{X}$是闭集的证明请见这里.下面我来证明第二点. \begin{align*} \overline{X}...
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摘要：给出实直线的两个子集$X,Y$的例子，使得\begin{align*}\overline{X\bigcap Y}\neq \overline{X}\bigcap \overline{Y}\end{align*}解:令$X=\mathbf{Q}$,$Y=\mathbf{R}\backslash\mat...
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摘要：给出实直线的两个子集$X,Y$的例子，使得\begin{align*}\overline{X\bigcap Y}\neq \overline{X}\bigcap \overline{Y}\end{align*}解:令$X=\mathbf{Q}$,$Y=\mathbf{R}\backslash\mat...
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摘要：设$X$是实直线的子集合，并设$Y$是集合，使得$X\subseteq Y\subseteq \overline{X}$,证明$\overline{Y}=\overline{X}$.证明:因为$X\subseteq Y$,根据引理9.1.11，可知\begin{align*} \overline{X...
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摘要：设$X$是实直线的子集合，并设$Y$是集合，使得$X\subseteq Y\subseteq \overline{X}$,证明$\overline{Y}=\overline{X}$.证明:因为$X\subseteq Y$,根据引理9.1.11，可知\begin{align*} \overline{X...
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摘要：我想对定义9.1.10(闭包)做一点延伸.有些人可能会混淆闭包和闭集的定义.其实,闭集的说法不针对某个特定的集合,我们不会说"某个集合的闭集",但是我们会说"某个集合的闭包".下面我来证明集合$A$的闭包肯定是闭集.这是因为假若一个集合A的闭包不是闭集，说明存在$A$的闭包的聚点,该聚点不属于这个闭...
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摘要：我想对定义9.1.10(闭包)做一点延伸.有些人可能会混淆闭包和闭集的定义.其实,闭集的说法不针对某个特定的集合,我们不会说"某个集合的闭集",但是我们会说"某个集合的闭包".下面我来证明集合$A$的闭包肯定是闭集.这是因为假若一个集合A的闭包不是闭集，说明存在$A$的闭包的聚点,该聚点不属于这个闭...
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摘要：我以前写过博文埃舍尔的绘画,自指,以及罗素悖论.在那篇博文里，我探讨了埃舍尔的绘画与正则公理的关系.现在我来探讨一下埃舍尔的绘画与Zorn引理的关系.再次以下面的图片为例.
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摘要：我以前写过博文埃舍尔的绘画,自指,以及罗素悖论.在那篇博文里，我探讨了埃舍尔的绘画与正则公理的关系.现在我来探讨一下埃舍尔的绘画与Zorn引理的关系.再次以下面的图片为例.
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摘要：有理数的全体，按其自然顺序——小者居左的顺序——做顺序，成一有序集$\mathbb{Q}$.设$a,b,c$都是有序集$M$的元素，当$a\prec b\prec c$时，称$b$在$a$与$c$之间.设$A$是一无首元素和末元素的可列有序集.假如$A$的任何两元素间必有$A$的元素,则存在$\ma...
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摘要：有理数的全体，按其自然顺序——小者居左的顺序——做顺序，成一有序集$\mathbb{Q}$.设$a,b,c$都是有序集$M$的元素，当$a\prec b\prec c$时，称$b$在$a$与$c$之间.设$A$是一无首元素和末元素的可列有序集.假如$A$的任何两元素间必有$A$的元素,则存在$\ma...
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摘要：万事无常，天下没有永恒的事物，人世间也没有永恒的感情。有多少感情原本就是虚情假意，有多少感情只是场面的客套，又有多少真情会随着时间的流逝而变淡。有多少兄弟反目，父子成仇。不要妄想永远，只要珍惜现在。当你看到一只不自由的麻雀而心生怜悯，将之放走；当你看到一个落魄的乞丐而心生同情，解囊相助，这就是一刹那...
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摘要：万事无常，天下没有永恒的事物，人世间也没有永恒的感情。有多少感情原本就是虚情假意，有多少感情只是场面的客套，又有多少真情会随着时间的流逝而变淡。有多少兄弟反目，父子成仇。不要妄想永远，只要珍惜现在。当你看到一只不自由的麻雀而心生怜悯，将之放走；当你看到一个落魄的乞丐而心生同情，解囊相助，这就是一刹那...
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摘要：Exercise 1.3.3 Let $X,Y$ be sets such that there is a map from X onto Y . Show that $Y\leq_c X$. Proof:Let this onto map from $X$ to $Y$ be $f$.For a...
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摘要：Exercise 1.3.3 Let $X,Y$ be sets such that there is a map from X onto Y . Show that $Y\leq_c X$. Proof:Let this onto map from $X$ to $Y$ be $f$.For a...
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摘要：If $X$ is infinite and $A\subseteq X$ finite, then $X\backslash A$ and $X$ have the same cardinality. Proof:First,it is easy to prove that $X$ has ...
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摘要：If $X$ is infinite and $A\subseteq X$ finite, then $X\backslash A$ and $X$ have the same cardinality. Proof:First,it is easy to prove that $X$ has ...
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摘要：$\mathbb{R}^2$和$\mathbb{R}$之间可以形成双射.由于$\mathbb{R}^2$可以和$[0,1]\times [0,1]$形成双射，而$\mathbb{R}$可以和$[0,1]$形成双射，因此我们只用证明$[0,1]\times [0,1]$可以和$[0,1]$形成双射.设...
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摘要：$\mathbb{R}^2$和$\mathbb{R}$之间可以形成双射.由于$\mathbb{R}^2$可以和$[0,1]\times [0,1]$形成双射，而$\mathbb{R}$可以和$[0,1]$形成双射，因此我们只用证明$[0,1]\times [0,1]$可以和$[0,1]$形成双射.设...
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摘要：陶哲轩在假期为一群高中学生举办了讲座，内容涉及多普勒效应和爱因斯坦的质能方程.并且把他的讲义上传到了他的博客. 我学习了他的讲义,在此记录. Exercise 2.1 (Airport puzzle). Alice is trying to get from one end of a large a...
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摘要：陶哲轩在假期为一群高中学生举办了讲座，内容涉及多普勒效应和爱因斯坦的质能方程.并且把他的讲义上传到了他的博客. 我学习了他的讲义,在此记录. Exercise 2.1 (Airport puzzle). Alice is trying to get from one end of a large a...
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摘要：我以前是在google chrome上安装Instant Notification for Gmail插件来提醒自己的gmail新邮件的，这样做很好，打开浏览器就可以知道自己有无新邮件.但是这样做并不彻底,于是我找到了一种在Ubuntu桌面上安装gmail邮件通知的方法，具体见这里:为防止那篇博文失...
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摘要：我以前是在google chrome上安装Instant Notification for Gmail插件来提醒自己的gmail新邮件的，这样做很好，打开浏览器就可以知道自己有无新邮件.但是这样做并不彻底,于是我找到了一种在Ubuntu桌面上安装gmail邮件通知的方法，具体见这里:为防止那篇博文失...
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摘要：我们知道，Cantor证明实数集不可数的时候用到了对角线证法,详情见Cantor定理的一种好表述.而事实上还有更加一般的Cantor定理，如下:对于一切集合$X$来说，$X$的势小于$2^X$的势.当$X$是空集的时候，命题是容易的.我们考虑$X$是非空集合时的情形.当$X$是非空集合时，根据良序原...
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摘要：我们知道，Cantor证明实数集不可数的时候用到了对角线证法,详情见Cantor定理的一种好表述.而事实上还有更加一般的Cantor定理，如下:对于一切集合$X$来说，$X$的势小于$2^X$的势.当$X$是空集的时候，命题是容易的.我们考虑$X$是非空集合时的情形.当$X$是非空集合时，根据良序原...
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摘要：今天我在A course on Borel sets 一书中看到了Cantor定理的一种好表述.我很喜欢这种表述.在很多书中，康托定理是这样表述的：自然数集合的所有子集形成的集合是不可数集.也有这样表述的:$2^{\mathbb{N}}$是不可数集.不过在A course on Borel sets...
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摘要：今天我在A course on Borel sets 一书中看到了Cantor定理的一种好表述.我很喜欢这种表述.在很多书中，康托定理是这样表述的：自然数集合的所有子集形成的集合是不可数集.也有这样表述的:$2^{\mathbb{N}}$是不可数集.不过在A course on Borel sets...
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摘要：设集合$A$的基数为$\alpha$,集合$B$的基数为$\beta$.证明以下三种有且仅有一种成立：（1）$\alpha<\beta$（2）$\alpha=\beta$（3）$\beta<\alpha$引理：任何一个非空集合$M$,都可以良序化.由于任何集合都可以看成良序集，而良序集的势是可以比较...
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摘要：设集合$A$的基数为$\alpha$,集合$B$的基数为$\beta$.证明以下三种有且仅有一种成立：（1）$\alpha<\beta$（2）$\alpha=\beta$（3）$\beta<\alpha$引理：任何一个非空集合$M$,都可以良序化.由于任何集合都可以看成良序集，而良序集的势是可以比较...
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摘要：良序原理:任何一个集合$M$都至少有一个良序.证法1(模糊，待修改)：$M$的所有子集对于集合的包含关系形成一个偏序集.设$\{x_0\}\subset M$.根据Zorn引理中的引理1，必定存在一个以$\{x_0\}$为最小元的良序集$T$，$T$没有严格上界.下面证明$M\in T$.假若$M\...
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摘要：良序原理:任何一个集合$M$都至少有一个良序.证法1(模糊，待修改)：$M$的所有子集对于集合的包含关系形成一个偏序集.设$\{x_0\}\subset M$.根据Zorn引理中的引理1，必定存在一个以$\{x_0\}$为最小元的良序集$T$，$T$没有严格上界.下面证明$M\in T$.假若$M\...
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摘要：序数$\alpha$ 是一个满足这个条件的良序集：对于一切$x\in\alpha$,$x = \{ y \in \alpha: y < x \}$ . (特别的, 每个属于$\alpha$的元素也是$\alpha$的子集, $\alpha$上严格的序关系$<$等同于$\in$)——Terence T...
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摘要：序数$\alpha$ 是一个满足这个条件的良序集：对于一切$x\in\alpha$,$x = \{ y \in \alpha: y < x \}$ . (特别的, 每个属于$\alpha$的元素也是$\alpha$的子集, $\alpha$上严格的序关系$<$等同于$\in$)——Terence T...
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摘要：若$A$和$B$是两个良序集，则下面三种情形有且仅有一种成立：1.$A$与$B$序同构.2.$A$与$B$的一节序同构.3.$B$与$A$的一节序同构.证明思路：根据良序集的一节中的定理，1,2,3中的任两者不会同时成立.下面我证明1,2,3必成立其一.引理1：良序集$A$和$B$,$a\in A$...
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摘要：若$A$和$B$是两个良序集，则下面三种情形有且仅有一种成立：1.$A$与$B$序同构.2.$A$与$B$的一节序同构.3.$B$与$A$的一节序同构.证明思路：根据良序集的一节中的定理，1,2,3中的任两者不会同时成立.下面我证明1,2,3必成立其一.引理1：良序集$A$和$B$,$a\in A$...
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摘要：良序集$A$，以$\prec$为顺序.$a\in A$,集合$A'=\{x:x\in A,x\prec a\}$称为$A$的一节.(易得当$a$是最小元时，$A'=\emptyset$)定理：良序集$A$与其任何一节绝不序同构.证明：假若$A$与其一节$A'$存在序同构.即存在$f:A\to f(A...
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摘要：良序集$A$，以$\prec$为顺序.$a\in A$,集合$A'=\{x:x\in A,x\prec a\}$称为$A$的一节.(易得当$a$是最小元时，$A'=\emptyset$)定理：良序集$A$与其任何一节绝不序同构.证明：假若$A$与其一节$A'$存在序同构.即存在$f:A\to f(A...
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摘要：强归纳数学归纳法是指：若$X$是一个带有序关系$\preceq $的良序集.对于任意$x\in X$,$P(x)$都是关于$x$的性质($P(x)$非对即错).令$x_0$是$X$中的最小元.已知$p(x_0)$成立.若$\forall m\prec n$,$P(m)$都成立，则$P(n)$也成立....
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摘要：强归纳数学归纳法是指：若$X$是一个带有序关系$\preceq $的良序集.对于任意$x\in X$,$P(x)$都是关于$x$的性质($P(x)$非对即错).令$x_0$是$X$中的最小元.已知$p(x_0)$成立.若$\forall m\prec n$,$P(m)$都成立，则$P(n)$也成立....
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摘要：设$X$和$Y$都是偏序集，分别具有序关系$\preceq_X$和$\preceq_Y$.在笛卡尔乘积$X\times Y$上定义关系$\preceq_{X\times Y}$如下：$(x,y)\preceq_{X\times Y}(x',y')$如果$x\preceq x'$或者$x=x'$且$y...
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摘要：设$X$和$Y$都是偏序集，分别具有序关系$\preceq_X$和$\preceq_Y$.在笛卡尔乘积$X\times Y$上定义关系$\preceq_{X\times Y}$如下：$(x,y)\preceq_{X\times Y}(x',y')$如果$x\preceq x'$或者$x=x'$且$y...
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摘要：设$X$是偏序集，并设$Y$,$Y'$是$X$的良序子集.证明$Y\bigcup Y'$是良序的当且仅当它是全序的.证明：$\Rightarrow$是自明的.$\Leftarrow:$任取$Y\bigcup Y'$的一个非空子集$A$.令$A_1=\{x\in A:x\in Y\}$.$A_2=\{...
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摘要：设$X$是偏序集，并设$Y$,$Y'$是$X$的良序子集.证明$Y\bigcup Y'$是良序的当且仅当它是全序的.证明：$\Rightarrow$是自明的.$\Leftarrow:$任取$Y\bigcup Y'$的一个非空子集$A$.令$A_1=\{x\in A:x\in Y\}$.$A_2=\{...
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摘要：原本发表在豆瓣笔记上，现在转移到这里来.阿蒂亚是世界著名数学家.这应该是阿提亚的一次简短的演讲，应该是比较随便地讲讲的，没有很强的组织性。但是我确信他讲的每一句话都是真话。我十分相信阿提亚这样卓越的数学家，就如同我十分相信陶哲轩的每一句话一样。阿提亚在这篇演讲中谈及了与数学研究有关的几个问题。我在这...
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摘要：原本发表在豆瓣笔记上，现在转移到这里来.阿蒂亚是世界著名数学家.这应该是阿提亚的一次简短的演讲，应该是比较随便地讲讲的，没有很强的组织性。但是我确信他讲的每一句话都是真话。我十分相信阿提亚这样卓越的数学家，就如同我十分相信陶哲轩的每一句话一样。阿提亚在这篇演讲中谈及了与数学研究有关的几个问题。我在这...
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摘要：设$X$是全序集，若$X$的每个非空子集都有最大元和最小元，那么$X$是有限的.证明：假设$X$是无限的.则必有$x_0\prec x_1\prec x_2\cdots$(全序集保证了任何两个元素都有关系）显然集合$\{x_n:n\in\mathbb{N}\}$没有最大元.矛盾.
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摘要：设$X$是全序集，若$X$的每个非空子集都有最大元和最小元，那么$X$是有限的.证明：假设$X$是无限的.则必有$x_0\prec x_1\prec x_2\cdots$(全序集保证了任何两个元素都有关系）显然集合$\{x_n:n\in\mathbb{N}\}$没有最大元.矛盾.
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摘要：设$X$是一个偏序集，对于任何$x\in X$,定义序理想$(x)$为集合$$(x):=\{y:y\preceq x\}$$设$(X):=\{(x):x\in X\}$是全体序理想的集合.并设$f:X\to (X)$是映射$f(x):=(x)$,它把每个元素映成它的序理想.证明$f$是双射.并且对任...
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摘要：设$X$是一个偏序集，对于任何$x\in X$,定义序理想$(x)$为集合$$(x):=\{y:y\preceq x\}$$设$(X):=\{(x):x\in X\}$是全体序理想的集合.并设$f:X\to (X)$是映射$f(x):=(x)$,它把每个元素映成它的序理想.证明$f$是双射.并且对任...
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摘要：设$f:X\to Y$是从集合$X$到$Y$的函数.假设$Y$是具有某个序关系$\preceq_Y$的偏序集.在$X$上定义一个关系$\preceq_X$使得$x\preceq_X x'$当且仅当$f(x)\preceq_Y f(x')$.证明这个关系使$X$成为一个偏序集.证明：首先证明$\for...
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摘要：设$f:X\to Y$是从集合$X$到$Y$的函数.假设$Y$是具有某个序关系$\preceq_Y$的偏序集.在$X$上定义一个关系$\preceq_X$使得$x\preceq_X x'$当且仅当$f(x)\preceq_Y f(x')$.证明这个关系使$X$成为一个偏序集.证明：首先证明$\for...
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摘要：习题8.5.2 给出集合$X$及满足下列条件的关系$\preceq$的例子.(1)关系$\preceq$是自反的和反对称的，但不是传递的.三个人$A$,$B$,$C$组成一个集合.关系是朋友关系.首先规定每个人都是自己的朋友.再规定$A$是$B$的朋友，$B$是$A$的朋友.再规定$C$是$B$的朋...
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摘要：习题8.5.2 给出集合$X$及满足下列条件的关系$\preceq$的例子.(1)关系$\preceq$是自反的和反对称的，但不是传递的.三个人$A$,$B$,$C$组成一个集合.关系是朋友关系.首先规定每个人都是自己的朋友.再规定$A$是$B$的朋友，$B$是$A$的朋友.再规定$C$是$B$的朋...
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摘要：考虑具有空序关系的空集$\leq_{\emptyset}$（这个关系$\leq_{\emptyset}$是空的，因为空集没有元素）.这个集合是否偏序的？良序的？全序的？给予解释.证明：首先回顾什么是偏序集.偏序集指的是一个集合$X$连同一个关系$\preceq$.$\forall a,b\in X$...
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摘要：考虑具有空序关系的空集$\leq_{\emptyset}$（这个关系$\leq_{\emptyset}$是空的，因为空集没有元素）.这个集合是否偏序的？良序的？全序的？给予解释.证明：首先回顾什么是偏序集.偏序集指的是一个集合$X$连同一个关系$\preceq$.$\forall a,b\in X$...
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摘要：若$X$是一个有限偏序集，则$X$必有最大元.证明：当$X$为有限集时，我先使用数学归纳法证明$X$必有最大元.当$X$是单元素集时，$X=\{x_0\}$.$x_0$是$X$的最大元,这是因为不存在$x\in\{x_0\}$,使得$x_0\prec x$.否则$x_0\prec x_0$,矛盾.假...
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摘要：若$X$是一个有限偏序集，则$X$必有最大元.证明：当$X$为有限集时，我先使用数学归纳法证明$X$必有最大元.当$X$是单元素集时，$X=\{x_0\}$.$x_0$是$X$的最大元,这是因为不存在$x\in\{x_0\}$,使得$x_0\prec x$.否则$x_0\prec x_0$,矛盾.假...
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摘要：我想对定义8.5.5做一个小小的附注:$X$是偏序集，$Y\subset X$.且$Y$是单元素集$\{y\}$，那么按照定义易知，$Y$的最小元是$y$,最大元也是$y$.还有，由于偏序集的子集仍是偏序集，所以我认为可以把定义8.5.5简化.书上的提法是：设$X$是偏序集，$Y\subset X$...
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摘要：我想对定义8.5.5做一个小小的附注:$X$是偏序集，$Y\subset X$.且$Y$是单元素集$\{y\}$，那么按照定义易知，$Y$的最小元是$y$,最大元也是$y$.还有，由于偏序集的子集仍是偏序集，所以我认为可以把定义8.5.5简化.书上的提法是：设$X$是偏序集，$Y\subset X$...
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摘要：例8.5.6 的最后叫读者证明全序集只能有至多1个最大元和至多一个最小元.证明:假若全序集$X$有多于1个最大元，则设$x_1,x_2$为最大元，且$x_1\neq x_2$.因为$X$是全序集，所以$x_1$与$x_2$必有序关系.由于$x_1$是最大元，所以$$x_2\leq x_1$$.由于$...
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摘要：例8.5.6 的最后叫读者证明全序集只能有至多1个最大元和至多一个最小元.证明:假若全序集$X$有多于1个最大元，则设$x_1,x_2$为最大元，且$x_1\neq x_2$.因为$X$是全序集，所以$x_1$与$x_2$必有序关系.由于$x_1$是最大元，所以$$x_2\leq x_1$$.由于$...
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摘要：设$E$是实直线的一个非空子集，且$E$有上界，那么存在一个序列$(a_n)_{n=1}^{\infty}$,它的元素都在$E$中，并且$$\lim_{n\to\infty}a_n=\sup(E)$$证明:由于$E$有上界，所以有上确界.若$\sup(E)$就是$E$的最大值$\max(E)$，则令...
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摘要：设$E$是实直线的一个非空子集，且$E$有上界，那么存在一个序列$(a_n)_{n=1}^{\infty}$,它的元素都在$E$中，并且$$\lim_{n\to\infty}a_n=\sup(E)$$证明:由于$E$有上界，所以有上确界.若$\sup(E)$就是$E$的最大值$\max(E)$，则令...
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摘要：关于例8.4.2的第一个“为什么”：对于任何的集合$I$与$X$,都有$\prod_{\alpha\in I} X=X^I$,为什么？答：根据定义$\prod_{\alpha\in I}X=\{f:\forall\alpha\in I,f(\alpha)\in X\}$,这也就是$X^I$.第二个“...
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摘要：关于例8.4.2的第一个“为什么”：对于任何的集合$I$与$X$,都有$\prod_{\alpha\in I} X=X^I$,为什么？答：根据定义$\prod_{\alpha\in I}X=\{f:\forall\alpha\in I,f(\alpha)\in X\}$,这也就是$X^I$.第二个“...
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摘要：为了介绍选择公理，陶哲轩在前面打了两个铺垫.第一个铺垫是陶哲轩实分析_引理3.1.6：若$A$是一个非空集合，则存在一个对象$x$,使得$\exists x\in A$.该引理采用反证法：假若对于一切对象$x$,$x\not\in A$,现在要推出$A=\emptyset$,从而导致矛盾,因此假设不...
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摘要：为了介绍选择公理，陶哲轩在前面打了两个铺垫.第一个铺垫是陶哲轩实分析_引理3.1.6：若$A$是一个非空集合，则存在一个对象$x$,使得$\exists x\in A$.该引理采用反证法：假若对于一切对象$x$,$x\not\in A$,现在要推出$A=\emptyset$,从而导致矛盾,因此假设不...
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摘要：第一问：证明对于任何集合$X$,$X$具有比$2^X$严格小的基数.这一问可以通过定理8.3.1(Cantor 定理)很容易推出.第二问：第二问叫我们证明基数大小的传递性.设集合$A$的基数严格小于$B$,集合$B$的基数严格小于$C$,易得$A$的基数小于或等于$C$的基数,假若$A$的基数能等于...
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摘要：第一问：证明对于任何集合$X$,$X$具有比$2^X$严格小的基数.这一问可以通过定理8.3.1(Cantor 定理)很容易推出.第二问：第二问叫我们证明基数大小的传递性.设集合$A$的基数严格小于$B$,集合$B$的基数严格小于$C$,易得$A$的基数小于或等于$C$的基数,假若$A$的基数能等于...
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摘要：Cantor-Bernstein-Schroeder定理:$A_0$和$B_0$是两个集合.存在$A_0$到$B_0$的单射，存在$B_0$到$A_0$的单射，则存在$A_0$到$B_0$的双射.证明:存在$A_0$到$B_0$的单射$f$,存在$B_0$到$A_0$的单射$g$.令$f(A_0)=...
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摘要：Cantor-Bernstein-Schroeder定理:$A_0$和$B_0$是两个集合.存在$A_0$到$B_0$的单射，存在$B_0$到$A_0$的单射，则存在$A_0$到$B_0$的双射.证明:存在$A_0$到$B_0$的单射$f$,存在$B_0$到$A_0$的单射$g$.令$f(A_0)=...
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摘要：设$(a_n)_{n=m}^{\infty}$是实数列，设$L^{+}$是此序列的上极限，$L^{-}$是此序列的下极限(于是$L^{+}$和$L^{-}$都是广义实数).(a)对于每个$x>L^{+}$,存在一个$N\geq m$,使得$a_nx$.对于$L^{-}$有类似结论. 证明:证明也很...
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摘要：设$(a_n)_{n=m}^{\infty}$是实数列，设$L^{+}$是此序列的上极限，$L^{-}$是此序列的下极限(于是$L^{+}$和$L^{-}$都是广义实数).(a)对于每个$x>L^{+}$,存在一个$N\geq m$,使得$a_nx$.对于$L^{-}$有类似结论. 证明:证明也很...
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摘要：Suppose that $\sum_{i=0}^na_if(x_i)$ denotes the $n+1$-point closed Newton-Cotes formula with $x_0=a,x_n=b$,and $h=\frac{b-a}{n}$.There exists $\xi\in...
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摘要：Suppose that $\sum_{i=0}^na_if(x_i)$ denotes the $n+1$-point closed Newton-Cotes formula with $x_0=a,x_n=b$,and $h=\frac{b-a}{n}$.There exists $\xi\in...
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摘要：我们来探究\begin{align*} \int_0^{nh}x(x-h)\cdots (x-nh)dx\end{align*}和\begin{align*} \int_0^nx(x-1)\cdots (x-n)dx\end{align*}的关系.我们先来看\begin{align*} x(x-h)...
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摘要：我们来探究\begin{align*} \int_0^{nh}x(x-h)\cdots (x-nh)dx\end{align*}和\begin{align*} \int_0^nx(x-1)\cdots (x-n)dx\end{align*}的关系.我们先来看\begin{align*} x(x-h)...
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摘要：均值不等式:对于非负实数$a_1,a_2,\cdots,a_n$,有 \begin{align*} a_1+a_2+\cdots+a_n\geq n \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n} \end{align*} 等号成立当且仅当$a_1=a_2=\cdots=a_n$.证明:我们使...
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摘要：均值不等式:对于非负实数$a_1,a_2,\cdots,a_n$,有 \begin{align*} a_1+a_2+\cdots+a_n\geq n \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n} \end{align*} 等号成立当且仅当$a_1=a_2=\cdots=a_n$.证明:我们使...
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摘要：Jiang Guosheng兄给出了南京大学2005年数学分析第六题的证明，我现在给出另一种证明.事实上，这道题的背景是数值积分中的梯形法则.设$f\in C^1[0,1]$,则 \begin{equation} \lim_{n\to\infty}n\left[\int_{0}^{1}f(x...
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摘要：Jiang Guosheng兄给出了南京大学2005年数学分析第六题的证明，我现在给出另一种证明.事实上，这道题的背景是数值积分中的梯形法则.设$f\in C^1[0,1]$,则 \begin{equation} \lim_{n\to\infty}n\left[\int_{0}^{1}f(x...
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摘要：我觉得自己已经无法在杭州师范大学呆下去了。心情太差了，即使学校不把我赶走，我自己也是要走的。在被中国教育蒙蔽了12年之后，我觉悟了，决心与中国教育决裂——这个过程其实自高二开始就有兆头了。自高二开始，我的内心就发生了郁闷和痛苦。如果学习会给我带来痛苦，我还要它作甚。决裂的末期是很痛苦的，还多少带有强...
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摘要：如果大家都在疯狂地做，那么就不要去做。如果你去做了，即使付出很大的努力，很可能也只能和普通人一样——因为大家都在做，竞争大，优秀的代价自然也大。现在的情况是，几乎每个高中生都在疯狂地准备高考，你还需要加入浩浩荡荡的高考大军吗？高考是一场难度很大的考试为什么高考这么难？原因很简单——考的人多，如果简单...
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摘要：$f$在$(x_0,x_3)$上四阶可导，且在$[x_0,x_3]$上三阶导函数连续.\begin{align*} \int_{x_0}^{x_3}f(x)dx=\frac{3h}{8}[f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+f(x_3)]-\frac{3h^5}{80}f^{(4)}...
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摘要：$f$在$(x_0,x_3)$上四阶可导，且在$[x_0,x_3]$上三阶导函数连续.\begin{align*} \int_{x_0}^{x_3}f(x)dx=\frac{3h}{8}[f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+f(x_3)]-\frac{3h^5}{80}f^{(4)}...
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摘要：命题:可数集的所有有限子集形成的集合仍然是可数集.这是一个简单的命题，因为即使连$\mathbb{N}\times \mathbb{N}$都是可数的，更不用说可数集的所有有限子集形成的集合了.但是，我还是发现了用另外一个角度可以将其证明，故记录如下.我们知道，欧几里德利用它的反证法证明了素数是可数无...
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摘要：命题:可数集的所有有限子集形成的集合仍然是可数集.这是一个简单的命题，因为即使连$\mathbb{N}\times \mathbb{N}$都是可数的，更不用说可数集的所有有限子集形成的集合了.但是，我还是发现了用另外一个角度可以将其证明，故记录如下.我们知道，欧几里德利用它的反证法证明了素数是可数无...
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摘要：虞旦盛老师给我们上数学分析续的课.现在课上完了,他把讲课的幻灯片交给了我们.是用$\LaTeX$做的，很优雅.上面多是一些数学分析中的难题.我把它放在这里共享.
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摘要：虞旦盛老师给我们上数学分析续的课.现在课上完了,他把讲课的幻灯片交给了我们.是用$\LaTeX$做的，很优雅.上面多是一些数学分析中的难题.我把它放在这里共享.
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摘要：$f$在$(x_0,x_2)$上四阶可导，且在$[x_0,x_2]$上三阶导函数连续.则\begin{equation} \int_{x_0}^{x_2}f(x)dx=\frac{h}{3}[f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)]-\frac{h^5}{90}f^{(4)}(\xi) ...
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摘要：$f$在$(x_0,x_2)$上四阶可导，且在$[x_0,x_2]$上三阶导函数连续.则\begin{equation} \int_{x_0}^{x_2}f(x)dx=\frac{h}{3}[f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)]-\frac{h^5}{90}f^{(4)}(\xi) ...
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