11 2012 档案
摘要：Let $a\mathbf{Z}=\{ax:x\in\mathbf{Z}\}$ denote the set of allmultiples of $a$.Prove that for any integers $a_1,\cdots,a_k$,\begin{equation} \bigcap_{...
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摘要：Let $a\mathbf{Z}=\{ax:x\in\mathbf{Z}\}$ denote the set of allmultiples of $a$.Prove that for any integers $a_1,\cdots,a_k$,\begin{equation} \bigcap_{...
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摘要：Let $a$ and $b$ be positive integers such that\begin{equation} a+b=57\end{equation}and\begin{equation} [a,b]=680\end{equation}Find $a$ and $b$.Solve...
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摘要：Let $a$ and $b$ be positive integers such that\begin{equation} a+b=57\end{equation}and\begin{equation} [a,b]=680\end{equation}Find $a$ and $b$.Solve...
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摘要：Prove that for any positive integers $a$ and $b$,\begin{equation} [a,b]=\frac{ab}{(a,b)}\end{equation}该命题根据容斥原理很容易得证.两个数的最小公倍数相当于两个集合的并，两个数的最大公约数相当于两...
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摘要：Prove that for any positive integers $a$ and $b$,\begin{equation} [a,b]=\frac{ab}{(a,b)}\end{equation}该命题根据容斥原理很容易得证.两个数的最小公倍数相当于两个集合的并，两个数的最大公约数相当于两...
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摘要：Prove that if $p$ and $q$ are twin primes greater than 3,then $p+q$ isdivisible by 12.Proof:According to Elementary Methods in Number Theory Exercise ...
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摘要：Prove that if $p$ and $q$ are twin primes greater than 3,then $p+q$ isdivisible by 12.Proof:According to Elementary Methods in Number Theory Exercise ...
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摘要：The prime numbers $p$ and $q$ are called twin primes if$|p-q|=2$.Let $p$ and $q$ be primes.Prove that $pq+1$ is a square ifand only if $p$ and $q$ are...
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摘要：The prime numbers $p$ and $q$ are called twin primes if$|p-q|=2$.Let $p$ and $q$ be primes.Prove that $pq+1$ is a square ifand only if $p$ and $q$ are...
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摘要：Find all primes $p$ such that $29p+1$ is a square.Proof:\begin{equation} 29p+1=t^2\end{equation}So\begin{equation} 29p=(t+1)(t-1)\end{equation}Both ...
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摘要：Find all primes $p$ such that $29p+1$ is a square.Proof:\begin{equation} 29p+1=t^2\end{equation}So\begin{equation} 29p=(t+1)(t-1)\end{equation}Both ...
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摘要：Prove that $n^5-n$ is divisible by 30 for every integer $n$.Proof:\begin{equation} n^5-n=(n-1)n(n+1)(n^2+1)\end{equation}\begin{equation} 6|(n-1)n(n...
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摘要：Prove that $n^5-n$ is divisible by 30 for every integer $n$.Proof:\begin{equation} n^5-n=(n-1)n(n+1)(n^2+1)\end{equation}\begin{equation} 6|(n-1)n(n...
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摘要：Let $n\geq 2$,prove that $(n+1)!+k$ is composite for$k=2,\cdots,n+1$.This shows that there exists arbitrarily longintervals of composite numbers.Proof...
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摘要：Let $n\geq 2$,prove that $(n+1)!+k$ is composite for$k=2,\cdots,n+1$.This shows that there exists arbitrarily longintervals of composite numbers.Proof...
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摘要：Prove that $n,n+2,n+4$ are all primes if and only if $n=3$.Proof:$\Rightarrow$:$n$ must be an odd number,let $n=2k+1,k\in\mathbf{N^+}$.So $n,n+2,n+4$ ...
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摘要：Prove that $n,n+2,n+4$ are all primes if and only if $n=3$.Proof:$\Rightarrow$:$n$ must be an odd number,let $n=2k+1,k\in\mathbf{N^+}$.So $n,n+2,n+4$ ...
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摘要：Compute the standard factorization of $15!$.Solve:\begin{equation} \sum_{r=1}^{\infty}[\frac{15}{2^r}]=11\end{equation}\begin{equation} \sum_{r=1}^{...
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摘要：Compute the standard factorization of $15!$.Solve:\begin{equation} \sum_{r=1}^{\infty}[\frac{15}{2^r}]=11\end{equation}\begin{equation} \sum_{r=1}^{...
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摘要：Factor $10^k+1$ into a product of primes for $k=1,2,3,4,5$.Solve:When $k=1$,\begin{equation} 11=11\end{equation}.When $k=2$,\begin{equation} 101=101...
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摘要：Factor 51948 into a product of primes.Solve:$$ 51948=2^2\times 3^3\times 13\times 37 $$
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摘要：Factor 51948 into a product of primes.Solve:$$ 51948=2^2\times 3^3\times 13\times 37 $$
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摘要：For every positive integer $n$ and prime $p$,\begin{equation} v_p(n!)=\sum_{r=1}^{[\log_p n]}[\frac{n}{p^r}]\end{equation}This formula is obvious(Wh...
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摘要：For every positive integer $n$ and prime $p$,\begin{equation} v_p(n!)=\sum_{r=1}^{[\log_p n]}[\frac{n}{p^r}]\end{equation}This formula is obvious(Wh...
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摘要：1. 设$b=r_0$.$r_1,r_2,\cdots$是将欧几里德算法应用于$a$与$b$得到的相继余数，证明每两步会缩小余数至少一半，换句话说，验证 \begin{equation} r_{i+2}b$.Thelength of the Euclidean algorithm for ...
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摘要：1. 设$b=r_0$.$r_1,r_2,\cdots$是将欧几里德算法应用于$a$与$b$得到的相继余数，证明每两步会缩小余数至少一半，换句话说，验证 \begin{equation} r_{i+2}b$.Thelength of the Euclidean algorithm for ...
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摘要：We define a sequence of integers as follows:\begin{equation} f_0=0\end{equation}\begin{equation} f_1=1\end{equation}\begin{equation} f_n=f_{n-1}+f_...
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摘要：We define a sequence of integers as follows:\begin{equation} f_0=0\end{equation}\begin{equation} f_1=1\end{equation}\begin{equation} f_n=f_{n-1}+f_...
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摘要：Let $[a_0,a_1,\cdots,a_{N}]$ be a finite simple continuedfraction,and let $p_n$ and $q_n$ be the numbers defined in Exercise10.Prove that \begin{equ...
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摘要：要证明形成一个阿贝尔群是很简单的,无非就是去掉整数部分取小数部分嘛.那个群同态的核，无非就是整数集合嘛！
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摘要：Let $H_3(\mathbf{Z})$ be the set of all matrices of the form\begin{equation} \begin{pmatrix} 1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\ \end{pmatrix}\end{equation}wit...
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摘要：Let $H_3(\mathbf{Z})$ be the set of all matrices of the form\begin{equation} \begin{pmatrix} 1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\ \end{pmatrix}\end{equation}wit...
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摘要：Let $G$ be the set of all matrices of the form\begin{equation} \begin{pmatrix} 1&a\\0&1\\ \end{pmatrix}\end{equation}with $a\in \mathbf{Z}$ and m...
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摘要：Let $G$ be the set of all matrices of the form\begin{equation} \begin{pmatrix} 1&a\\0&1\\ \end{pmatrix}\end{equation}with $a\in \mathbf{Z}$ and m...
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摘要：Let$$ (x_0,x_1,\cdots,x_n)\in S=\mathbf{Q}\backslash \{(0,0,\cdots,0\}$$Let $[(x_0,x_1,\cdots,x_n)]$ denote the equivalence class of $(x_0,x_1,\cdots,...
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摘要：Let$$ (x_0,x_1,\cdots,x_n)\in S=\mathbf{Q}\backslash \{(0,0,\cdots,0\}$$Let $[(x_0,x_1,\cdots,x_n)]$ denote the equivalence class of $(x_0,x_1,\cdots,...
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摘要：Consider $(\frac{25}{6},-5,\frac{10}{3})\in\mathbf{Q}^3$.Find all triples $(a_0,a_{1},a_2)$ of relatively prime integers such that\begin{equation} (a...
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摘要：Consider $(\frac{25}{6},-5,\frac{10}{3})\in\mathbf{Q}^3$.Find all triples $(a_0,a_{1},a_2)$ of relatively prime integers such that\begin{equation} (a...
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摘要：Let $a,b,c,d$ be integers such that $ad-bc=1$.For integers $u$ and$v$,define\begin{equation} u'=au+bv\end{equation}\begin{equation} v'=cu+dv\end{equ...
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摘要：Let $a,b,c,d$ be integers such that $ad-bc=1$.For integers $u$ and$v$,define\begin{equation} u'=au+bv\end{equation}\begin{equation} v'=cu+dv\end{equ...
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摘要：今天我吃饼干的时候想到了欧几里德算法的一种图形意义,上网一查，早已经有人发表了一样的想法.这是广州大学计算机科学与教育软件学院的黄勇发表的欧几里德算法的几何意义的一篇文章.整篇文章只有一个想法，因此这个问题还有很大的探索余地.下面我一一探索.考察面积已知正整数$a,b$,其中$aa$.易得，当$\f...
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摘要：今天我吃饼干的时候想到了欧几里德算法的一种图形意义,上网一查，早已经有人发表了一样的想法.这是广州大学计算机科学与教育软件学院的黄勇发表的欧几里德算法的几何意义的一篇文章.整篇文章只有一个想法，因此这个问题还有很大的探索余地.下面我一一探索.考察面积已知正整数$a,b$,其中$aa$.易得，当$\f...
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摘要：Construct four relatively prime integers $a,b,c,d$ such that no threeof them are relatively prime.Solve:Let $a,b,c$ share a prime factor $3$.$a,b,d$ s...
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摘要：Construct four relatively prime integers $a,b,c,d$ such that no threeof them are relatively prime.Solve:Let $a,b,c$ share a prime factor $3$.$a,b,d$ s...
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摘要：Find integers $x$ and $y$ such that \begin{equation} 13x+15y=1 \end{equation}Solve:\begin{equation} 15=1\times 13+2\end{equation}\begin{equatio...
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摘要：Find integers $x$ and $y$ such that \begin{equation} 13x+15y=1 \end{equation}Solve:\begin{equation} 15=1\times 13+2\end{equation}\begin{equatio...
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摘要：在大二下学期我翻译了著名数学家陶哲轩的一部分博文,现在把它贴到下面，希望对读者有所启发.不要害怕学习其它领域的知识译自Don't be afraid to learn things outside your field .尽可能地了解全局，同时精通局部.(赫胥黎)数学恐惧症普遍存在于较广泛的群体中....
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摘要：在大二下学期我翻译了著名数学家陶哲轩的一部分博文,现在把它贴到下面，希望对读者有所启发.不要害怕学习其它领域的知识译自Don't be afraid to learn things outside your field .尽可能地了解全局，同时精通局部.(赫胥黎)数学恐惧症普遍存在于较广泛的群体中....
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摘要：Zorn引理：$(X,\leq)$是一个非空偏序集.若$X$的每个全序子集$(Y,\leq)$都有上界，则$(X,\leq)$有最大元.为了证明Zorn 引理，需要另外的引理：引理：$(X,\leq)$是非空偏序集，$x_0\in (X,\leq)$,则$(X,\leq)$有一个良序子集$(Y,\l...
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摘要：Zorn引理：$(X,\leq)$是一个非空偏序集.若$X$的每个全序子集$(Y,\leq)$都有上界，则$(X,\leq)$有最大元.为了证明Zorn 引理，需要另外的引理：引理：$(X,\leq)$是非空偏序集，$x_0\in (X,\leq)$,则$(X,\leq)$有一个良序子集$(Y,\l...
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摘要：循环群的子群是循环群.证明：$m$阶循环群都与$(\mathbb{Z}_m,+)(m\geq 1)$同构，无限阶循环群都与$(\mathbb{Z},+)$同构，所以我们只要讨论$(\mathbb{Z}_m,+)$和$(\mathbb{Z},+)$就足够了.对于$(\mathbb{Z}_m,+)$来说...
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摘要：循环群的子群是循环群.证明：$m$阶循环群都与$(\mathbb{Z}_m,+)(m\geq 1)$同构，无限阶循环群都与$(\mathbb{Z},+)$同构，所以我们只要讨论$(\mathbb{Z}_m,+)$和$(\mathbb{Z},+)$就足够了.对于$(\mathbb{Z}_m,+)$来说...
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摘要：The set $\bf{Q}^2$ is a subfield of the field $\bf{C}$ defined above.However, it is also possible to define field structures on $\bf{Q}^2$ in other wa...
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摘要：The set $\bf{Q}^2$ is a subfield of the field $\bf{C}$ defined above.However, it is also possible to define field structures on $\bf{Q}^2$ in other wa...
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摘要：证明:若$a_1\neq 0$,则\begin{equation}\label{eq:2367} \frac{p_n}{p_{n-1}}=[a_n,a_{n-1},a_{n-2},\cdots,a_1]\end{equation}和\begin{equation}\label{eq:9876} ...
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摘要：证明:若$a_1\neq 0$,则\begin{equation}\label{eq:2367} \frac{p_n}{p_{n-1}}=[a_n,a_{n-1},a_{n-2},\cdots,a_1]\end{equation}和\begin{equation}\label{eq:9876} ...
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摘要：Let $[a_0,a_1,\cdots,a_N]$ be a finite simple continued fraction,and let $p_n$ and $q_n$ be the numbers defined in Exercise 10.Prove that\begin{equati...
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摘要：Let $[a_0,a_1,\cdots,a_N]$ be a finite simple continued fraction,and let $p_n$ and $q_n$ be the numbers defined in Exercise 10.Prove that\begin{equati...
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摘要：把下面的每一个连分数表示成等价形式，但要具有奇数个部分商.(a)[2,1,1,4,1,1]解:\begin{equation} 2+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{4+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1}}}}}\end{equation}表述为具有...
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摘要：把下面的每一个连分数表示成等价形式，但要具有奇数个部分商.(a)[2,1,1,4,1,1]解:\begin{equation} 2+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{4+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1}}}}}\end{equation}表述为具有...
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摘要：我在博文弱Bachet 定理的一个存在性证明里完成了Bachet定理的一个特殊情形的存在性证明.其实Bachet定理本身就有一个存在性证明，而不必构造处具体的整数$u,v$.这在高斯的《算术探索》第24目中便有叙述.下面我用自己的语言重述如下:Bachet 定理即:若两个正整数$a,b$互素，则存在...
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摘要：我在博文弱Bachet 定理的一个存在性证明里完成了Bachet定理的一个特殊情形的存在性证明.其实Bachet定理本身就有一个存在性证明，而不必构造处具体的整数$u,v$.这在高斯的《算术探索》第24目中便有叙述.下面我用自己的语言重述如下:Bachet 定理即:若两个正整数$a,b$互素，则存在...
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摘要：把下面的每一个都化为有限简单连分数.(1)$\frac{17}{11}$.解:\begin{equation} 17=1\times 11+6 \Leftrightarrow \frac{17}{11}=1+\frac{6}{11}\end{equation}\begin{equation} ...
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摘要：把下面的每一个都化为有限简单连分数.(1)$\frac{17}{11}$.解:\begin{equation} 17=1\times 11+6 \Leftrightarrow \frac{17}{11}=1+\frac{6}{11}\end{equation}\begin{equation} ...
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摘要：该结论来自美国新数学丛书《连分数》的第8页.若$p$比$q$大，并且 \begin{equation} \frac{p}{q}=[a_1,a_2,\cdots,a_n] \end{equation},则 \begin{equation} \frac{q}{p}=[0,a_1,a_2...
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摘要：该结论来自美国新数学丛书《连分数》的第8页.若$p$比$q$大，并且 \begin{equation} \frac{p}{q}=[a_1,a_2,\cdots,a_n] \end{equation},则 \begin{equation} \frac{q}{p}=[0,a_1,a_2...
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摘要：下面用同余的语言来阐述欧几里德算法.对于整数$a$和正整数$b$,我们知道 \begin{equation} \label{eq:11.16} a=q_1b+r_1(q_1\geq 0,0\leq r_10$时，我们继续，\begin{equation} b=r_1q_2+r_2\en...
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摘要：下面用同余的语言来阐述欧几里德算法.对于整数$a$和正整数$b$,我们知道 \begin{equation} \label{eq:11.16} a=q_1b+r_1(q_1\geq 0,0\leq r_10$时，我们继续，\begin{equation} b=r_1q_2+r_2\en...
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摘要：Bachet定理声称，若两个正整数$a,b$互素，则存在整数$u,v$,使得 \begin{equation} au+bv=1 \end{equation}Bachet定理的证明, 通常书上使用欧几里德算法，那是一个构造性的证明,构造出了具体的$u,v$.但是Bachet定理的一个特殊情形...
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摘要：Bachet定理声称，若两个正整数$a,b$互素，则存在整数$u,v$,使得 \begin{equation} au+bv=1 \end{equation}Bachet定理的证明, 通常书上使用欧几里德算法，那是一个构造性的证明,构造出了具体的$u,v$.但是Bachet定理的一个特殊情形...
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摘要：若$a$和$b$都不能被素数$p$整除，则乘积$ab$也不能被$p$整除.证明:设$a\equiv k_1 \hbox{mod} p,b\equiv k_2 \hbox{mod} p$,其中$0<k_1,k_2<p$.则$ab\equiv k_1k_2 \hbox{mod} p$.但是容易证明$p$...
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摘要：若$a$和$b$都不能被素数$p$整除，则乘积$ab$也不能被$p$整除.证明:设$a\equiv k_1 \hbox{mod} p,b\equiv k_2 \hbox{mod} p$,其中$0<k_1,k_2<p$.则$ab\equiv k_1k_2 \hbox{mod} p$.但是容易证明$p$...
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摘要：高斯的名著《算术探索》已经有中文版，由潘承彪和张明尧翻译，哈工大刘培杰工作室出品.可惜太贵,要158.趁着淘宝双十一打折，花了79元买了《算术探索》,快递今天才到.刚看了第一篇(1-12目)，现在把我的感悟记录如下.《算术探索》第一篇是关于“数的同余”.其实数的同余，我们用一个圈来解释就足够了.比方...
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摘要：高斯的名著《算术探索》已经有中文版，由潘承彪和张明尧翻译，哈工大刘培杰工作室出品.可惜太贵,要158.趁着淘宝双十一打折，花了79元买了《算术探索》,快递今天才到.刚看了第一篇(1-12目)，现在把我的感悟记录如下.《算术探索》第一篇是关于“数的同余”.其实数的同余，我们用一个圈来解释就足够了.比方...
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摘要：计算$\sqrt{3}$和$\sqrt{5}$的连分数中的前10项.解:\begin{align*} \sqrt{3}=1+\dfrac{1}{\dfrac{1}{\sqrt{3}-1}}\end{align*}\begin{align*} \sqrt{3}=1+\dfrac{1}{1+\dfr...
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摘要：计算$\sqrt{3}$和$\sqrt{5}$的连分数中的前10项.解:\begin{align*} \sqrt{3}=1+\dfrac{1}{\dfrac{1}{\sqrt{3}-1}}\end{align*}\begin{align*} \sqrt{3}=1+\dfrac{1}{1+\dfr...
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摘要：设$\frac{p_0}{q_0},\frac{p_1}{q_1},\frac{p_2}{q_2},\cdots$为连分数$[a_0,a_1,a_2,\cdots]$的收敛项，则\begin{equation} \label{eq:2.07} \frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}-\f...
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摘要：设$\frac{p_0}{q_0},\frac{p_1}{q_1},\frac{p_2}{q_2},\cdots$为连分数$[a_0,a_1,a_2,\cdots]$的收敛项，则\begin{equation} \label{eq:2.07} \frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}-\f...
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摘要：连分数递归公式:设\begin{align*} \frac{p_n}{q_n}=[a_0,a_1,\cdots,a_n]=a_0+\dfrac{1}{a_{1}+\dfrac{1}{a_2+\dfrac{1}{\ddots +\dfrac{1}{a_n}}}}\end{align*}其中...
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摘要：连分数递归公式:设\begin{align*} \frac{p_n}{q_n}=[a_0,a_1,\cdots,a_n]=a_0+\dfrac{1}{a_{1}+\dfrac{1}{a_2+\dfrac{1}{\ddots +\dfrac{1}{a_n}}}}\end{align*}其中...
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摘要：有理数的小数表示如果是无限的，则是无限循环的. 证明:对于任意给定的正有理数$\frac{a}{b},a,b\in\mathbf{N}^{+}$.我们考察小学中的长除法的本质.比如，7除以12.因为$7<12$,所以我们先把7乘以10,变成70，然后70除以12. \begin{equation...
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摘要：有理数的小数表示如果是无限的，则是无限循环的. 证明:对于任意给定的正有理数$\frac{a}{b},a,b\in\mathbf{N}^{+}$.我们考察小学中的长除法的本质.比如，7除以12.因为$7<12$,所以我们先把7乘以10,变成70，然后70除以12. \begin{equation...
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摘要：我要读《数论基础》.该书由И.М. - 维诺格拉多夫 著,裘光明翻译.1956年出版.下面先指出一个错误,以后如果发现,会陆续补充.1.1.3 节,Page 17这显然是荒诞的.
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摘要：我要读《数论基础》.该书由И.М. - 维诺格拉多夫 著,裘光明翻译.1956年出版.下面先指出一个错误,以后如果发现,会陆续补充.1.1.3 节,Page 17这显然是荒诞的.
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摘要：引理1:这种方法是我睡觉时想到的,借鉴的是部分分式的方法:已知分数$\frac{a}{b}$,其中$b$是正自然数.且$b$可以被分解成两个正自然数$p_1,p_2$的积,$p_1,p_2$互素.则存在整数$m,n$,使得\begin{equation}\label{eq:1111111}\frac...
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摘要：引理1:这种方法是我睡觉时想到的,借鉴的是部分分式的方法:已知分数$\frac{a}{b}$,其中$b$是正自然数.且$b$可以被分解成两个正自然数$p_1,p_2$的积,$p_1,p_2$互素.则存在整数$m,n$,使得\begin{equation}\label{eq:1111111}\frac...
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摘要：(罗尔中值定理)设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，在区间$(a,b)$上可微.若$f(a)=f(b)$,则在区间$(a,b)$的某点处$f'(x)=0$.即存在$\xi$,使得$a<\xi<b,f'(\xi)=0$.证明：根据闭区间上的连续函数有最大值可知，由于$f(x)$是闭区间$[a...
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摘要：(罗尔中值定理)设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，在区间$(a,b)$上可微.若$f(a)=f(b)$,则在区间$(a,b)$的某点处$f'(x)=0$.即存在$\xi$,使得$a<\xi<b,f'(\xi)=0$.证明：根据闭区间上的连续函数有最大值可知，由于$f(x)$是闭区间$[a...
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摘要：假设有25个人的保留价格都为500元，第26个人的保留价格为200元，这种需求曲线的形状如何?答:
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摘要：假设有25个人的保留价格都为500元，第26个人的保留价格为200元，这种需求曲线的形状如何?答:
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摘要：在有理數域上，分解下面的式子成部分分式:(a)\begin{equation} \frac{3x+4}{x^2+3x+2}\end{equation}解:$x^2+3x+2=(x+2)(x+1)$.設\begin{equation} \frac{3x+4}{x^2+3x+2}=\frac{P}{...
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摘要：在有理數域上，分解下面的式子成部分分式:(a)\begin{equation} \frac{3x+4}{x^2+3x+2}\end{equation}解:$x^2+3x+2=(x+2)(x+1)$.設\begin{equation} \frac{3x+4}{x^2+3x+2}=\frac{P}{...
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摘要：以冪$[c(x)]^m$爲分母的有理式可以表示成一個多項式與一些有理分式之和，每個有理分式的分母是$c(x)$的冪，分子的次數低於$c(x)$的次數.證明:這個命題是十分簡單的，只要利用帶餘除法有限次就可以實現了.實際上，這個命題是十分直觀的.
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摘要：以冪$[c(x)]^m$爲分母的有理式可以表示成一個多項式與一些有理分式之和，每個有理分式的分母是$c(x)$的冪，分子的次數低於$c(x)$的次數.證明:這個命題是十分簡單的，只要利用帶餘除法有限次就可以實現了.實際上，這個命題是十分直觀的.
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摘要：证明:存在无穷多个自然数$n$,使得$n$不能表示为$$a^2+p(a\in\bf{Z}^+)$$$p$是正素数.证明:若除了有限几个自然数，其它的自然数都能表示成这种形式，则从某个正完全平方数$b_1^2$开始，接下来所有的完全平方数能表示成这种方式.令$b_1>1$,$b_1^2=a_1^2+p...
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摘要：证明:存在无穷多个自然数$n$,使得$n$不能表示为$$a^2+p(a\in\bf{Z}^+)$$$p$是正素数.证明:若除了有限几个自然数，其它的自然数都能表示成这种形式，则从某个正完全平方数$b_1^2$开始，接下来所有的完全平方数能表示成这种方式.令$b_1>1$,$b_1^2=a_1^2+p...
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摘要：Let $A$ and $B$ be finite sets.Show that $A\bigcup B$ and $A\bigcap B$ are also finite sets,and that $\#A+\#B=\#(A\bigcup B)+\#(A\bigcap B)$.($\#A$ re...
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摘要：Let $A$ and $B$ be finite sets.Show that $A\bigcup B$ and $A\bigcap B$ are also finite sets,and that $\#A+\#B=\#(A\bigcup B)+\#(A\bigcap B)$.($\#A$ re...
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摘要：In this post,I will talk about the direct sum of two functions.I will divide this post into five parts.This is the first part.And below,the second and...
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摘要：设$X$和$Y$是集合，定义一个从$X$到$Y$的部分函数$f:X^{'}\to Y^{'}$.其定义域$X^{'}$是$X$的一个子集，其值域$Y^{'}$是$Y$的一个子集合.证明从$X$到$Y$的全体部分函数本身成为一个集合.证：$X$中的任意一个子集$X^{'}$.根据幂集公理,从$X^{'...
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摘要：设$X$和$Y$是集合，定义一个从$X$到$Y$的部分函数$f:X^{'}\to Y^{'}$.其定义域$X^{'}$是$X$的一个子集，其值域$Y^{'}$是$Y$的一个子集合.证明从$X$到$Y$的全体部分函数本身成为一个集合.证：$X$中的任意一个子集$X^{'}$.根据幂集公理,从$X^{'...
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摘要：设A,B是集合X的两个子集合，并设f:X → Y是函数.证明f(A∩B) ⊆ f(A)∩f(B),f(A)\f(B) ⊆ f(A\B), f(A∪B) = f(A)∪f(B).对于前两个命题， ⊆ 关系可以加强为 = 吗？证：（1）设x ∈ A∩B.则f(x) ∈ f(A)且f(x) ∈ f(B)....
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摘要：设A,B是集合X的两个子集合，并设f:X → Y是函数.证明f(A∩B) ⊆ f(A)∩f(B),f(A)\f(B) ⊆ f(A\B), f(A∪B) = f(A)∪f(B).对于前两个命题， ⊆ 关系可以加强为 = 吗？证：（1）设x ∈ A∩B.则f(x) ∈ f(A)且f(x) ∈ f(B)....
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摘要：證明:设$x\in(\bigcup_{\alpha\in I}A_{\alpha})\bigcap(\bigcup_{\beta\in J}B_{\beta})$,则$x\in(\bigcup_{\alpha\in I}A_{\alpha})$且$x\in\bigcup_{\beta\in J}B_...
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摘要：證明:设$x\in(\bigcup_{\alpha\in I}A_{\alpha})\bigcap(\bigcup_{\beta\in J}B_{\beta})$,则$x\in(\bigcup_{\alpha\in I}A_{\alpha})$且$x\in\bigcup_{\beta\in J}B_...
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摘要：冪集公理的第一種表述:设$X$和$Y$是集合，从$X$到$Y$的一切函数形成一个集合.冪集公理的第二種表述:一个集合的所有子集可以形成一个集合.由第一種表述推導出第二種表述是容易的(怎麼個容易法?提示:令$Y=\{0,1\}$,然后再使用ZF集合论里的代替公理和分离公理).下面结合其它公理,由第二種...
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摘要：冪集公理的第一種表述:设$X$和$Y$是集合，从$X$到$Y$的一切函数形成一个集合.冪集公理的第二種表述:一个集合的所有子集可以形成一个集合.由第一種表述推導出第二種表述是容易的(怎麼個容易法?提示:令$Y=\{0,1\}$,然后再使用ZF集合论里的代替公理和分离公理).下面结合其它公理,由第二種...
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摘要：假设I和J是两个集合，并且对于每个$\alpha\in I\bigcup J$,$A_{\alpha}$是一个集合.证明$$(\bigcup_{\alpha\in I}A_{\alpha})\bigcup(\bigcup_{\alpha\in J}A_{\alpha})=(\bigcup_{\alp...
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摘要：假设I和J是两个集合，并且对于每个$\alpha\in I\bigcup J$,$A_{\alpha}$是一个集合.证明$$(\bigcup_{\alpha\in I}A_{\alpha})\bigcup(\bigcup_{\alpha\in J}A_{\alpha})=(\bigcup_{\alp...
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摘要：证：第一个式子很好证.第二个式子：不成立.因为$(A\bigcup C)\times(B\bigcup D)$包含了$C\times B$.第三个式子：顯然不成立.我們可以在平面直角座標系上數形結合給出反例.
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摘要：证：第一个式子很好证.第二个式子：不成立.因为$(A\bigcup C)\times(B\bigcup D)$包含了$C\times B$.第三个式子：顯然不成立.我們可以在平面直角座標系上數形結合給出反例.
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摘要：（1）(x, y): = {{x}, {x, y}}.(x’, y’): = {{x’}, {x’, y’}}.先证明x = x’, y = y’时，(x,y)=(x’, y’).这是很容易的.其次要证明，当{{x}, {x, y}} = {{x’}, {x’, y’}}时，可以推出x = x’, ...
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摘要：（1）(x, y): = {{x}, {x, y}}.(x’, y’): = {{x’}, {x’, y’}}.先证明x = x’, y = y’时，(x,y)=(x’, y’).这是很容易的.其次要证明，当{{x}, {x, y}} = {{x’}, {x’, y’}}时，可以推出x = x’, ...
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摘要：设f:X → Y是从一个集合X到另一个集合Y的函数，并设U,V是Y的子集.证明：f − 1(U∪V) = f − 1(U)∪f − 1(V).f − 1(U∩V) = f − 1(U)∩f − 1(V).f − 1(U\V) = f − 1(U)\f − 1(V).证明：∀x ∈ f − 1(U∪V...
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摘要：设f:X → Y是从一个集合X到另一个集合Y的函数，并设U,V是Y的子集.证明：f − 1(U∪V) = f − 1(U)∪f − 1(V).f − 1(U∩V) = f − 1(U)∩f − 1(V).f − 1(U\V) = f − 1(U)\f − 1(V).证明：∀x ∈ f − 1(U∪V...
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摘要：一個有理分式,如果它的分母是兩個互素多項式$c(x)$和$d(x)$的乘積,那麼它可以表示爲分母分別爲$c(x)$和$d(x)$的兩個商式之和.證明:設該有理分式爲$\frac{b(x)}{c(x)d(x)}$.即證它可以表示爲如下形式:$$\frac{P}{c(x)}+\frac{Q}{d(x)}...
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摘要：一個有理分式,如果它的分母是兩個互素多項式$c(x)$和$d(x)$的乘積,那麼它可以表示爲分母分別爲$c(x)$和$d(x)$的兩個商式之和.證明:設該有理分式爲$\frac{b(x)}{c(x)d(x)}$.即證它可以表示爲如下形式:$$\frac{P}{c(x)}+\frac{Q}{d(x)}...
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摘要：假如我们在ZF集合论里加入这么一条公理：概括公理:设对于每一个对象$x$,我们都有一个依赖于$x$的性质$P(x)$,则存在一个集合$\{x|P(x)\mbox{成立}\}$.使得$$y\in\{x|P(x)\mbox{成立}\}\Leftrightarrow P(y)\mbox{成立}$$.这看上...
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摘要：假如我们在ZF集合论里加入这么一条公理：概括公理:设对于每一个对象$x$,我们都有一个依赖于$x$的性质$P(x)$,则存在一个集合$\{x|P(x)\mbox{成立}\}$.使得$$y\in\{x|P(x)\mbox{成立}\}\Leftrightarrow P(y)\mbox{成立}$$.这看上...
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摘要：證明擴張相空間沿着時間軸的移動變換$$h^t:\mathbf{R}\times M\to \mathbf{R}\times M$$$h^s(t,x)=(t+s,x)$將積分曲線變爲積分曲線.證明:這是很容易的.而且容易證明這兩條積分曲線所對應的相曲線其實是同一條相曲線.也就是說,事件發生的時間平移了...
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摘要：證明擴張相空間沿着時間軸的移動變換$$h^t:\mathbf{R}\times M\to \mathbf{R}\times M$$$h^s(t,x)=(t+s,x)$將積分曲線變爲積分曲線.證明:這是很容易的.而且容易證明這兩條積分曲線所對應的相曲線其實是同一條相曲線.也就是說,事件發生的時間平移了...
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摘要：經過擴張相空間的每一點有且僅有一條積分曲線證明:假若經過擴張相空間的某個點有兩條不同的積分曲線，則意味着經過相空間中的某點有兩條相曲線，這與常微分方程(阿諾爾德) 1.1節 問題3 經過相空間的每一點有且僅有一條相曲線 矛盾.
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摘要：經過擴張相空間的每一點有且僅有一條積分曲線證明:假若經過擴張相空間的某個點有兩條不同的積分曲線，則意味着經過相空間中的某點有兩條相曲線，這與常微分方程(阿諾爾德) 1.1節 問題3 經過相空間的每一點有且僅有一條相曲線 矛盾.
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摘要：今天我來給大家講一個故事.講的故事是宇宙王國的故事.大家可能以爲,我們這個宇宙就是唯一的宇宙了.其實不是的.我們這個宇宙其實只是宇宙王國裏的一個宇宙.整個宇宙王國裏有無數的宇宙,我們的宇宙只是其中的一個.衆多的宇宙擁有共同的時間,所有的宇宙都沿着時間的推進而緩緩演變.而且,所有的宇宙的演變都是確定的...
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摘要：經過相空間的每一點有且僅有一條相曲線.證明是很簡單的,太簡單了,以至於我都不知道怎麼說了.因爲對於相空間中給定的點$x_0$來說,$\{g^t(x_0)|t\in\mathbf{R}\}$是確定的,唯一的,所以經過想空間中的每一個點有且僅有一條相曲線.
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摘要：見阿諾爾德的「常微分方程」第四頁,他對「單參變換羣」的定義如下:可是這裏有一個問題,就是,如果$M$是實數集,那麼根據我的博文M的冪集的勢不大於_M_的所有排列形成的集合的勢,可知 M 到它自身的映射族$\{g^t\}$的勢比$\mathbf{R}$的勢要大,也就是說,想要用實數集裏的元素來標記$M...
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摘要：見阿諾爾德的「常微分方程」第四頁,他對「單參變換羣」的定義如下:可是這裏有一個問題,就是,如果$M$是實數集,那麼根據我的博文M的冪集的勢不大於_M_的所有排列形成的集合的勢,可知 M 到它自身的映射族$\{g^t\}$的勢比$\mathbf{R}$的勢要大,也就是說,想要用實數集裏的元素來標記$M...
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摘要：設$M$是一個集合.設從$M$到自身的所有雙射形成的集合爲$K$,則$2^{M}$的勢不大於$K$的勢.證明:設$x$是$M$的任意一個子集,我們對$M$實施如下操作,這樣的操作的名字我們叫做對於$M$的$x$操作，操作本身就是一個從$M$到$M$自身的雙射:當$p\in M\backslash x...
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摘要：設$M$是一個集合.設從$M$到自身的所有雙射形成的集合爲$K$,則$2^{M}$的勢不大於$K$的勢.證明:設$x$是$M$的任意一個子集,我們對$M$實施如下操作,這樣的操作的名字我們叫做對於$M$的$x$操作，操作本身就是一個從$M$到$M$自身的雙射:當$p\in M\backslash x...
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摘要：以水池中水流運動爲例子.在時刻A到時刻B的過程中,設時刻A爲初始狀態.當給定一個時刻的時候的所有水分子在那個時刻的狀態叫做一個相點.而所謂相流,實際上給我們提供了在哪個時刻水分子處於哪個狀態的詳細信息,它告訴我們任意一個相點在經過一段確定時間後的狀態.然後讓時間從A開始流逝,所有水分子按照相流所提供...
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摘要：若$a>1$,$k>0$,則當$n\to\infty$時，$\frac{a^n}{n^k}\to\infty$.證明:即證$\log a^n-\log n^k\to \infty$.即證\begin{equation} \label{eq:4.14} n\log a-k\log n\to\inf...
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摘要：$F$是平面上的有界閉集，$f(z)$是$F$上的連續函數.在集$F$上至少有這樣的一點$z_0$存在，使得不等式$|f(z)|\geq |f(z_0)|$在$F$中所有的點處都成立.證明:在此我只是用文字大郅敘述證明思路，而不過分糾結詳細.由於$F$是平面上的有界閉集，因此可以用一個矩形將其覆蓋....
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摘要：$F$是平面上的有界閉集，$f(z)$是$F$上的連續函數.在集$F$上至少有這樣的一點$z_0$存在，使得不等式$|f(z)|\geq |f(z_0)|$在$F$中所有的點處都成立.證明:在此我只是用文字大郅敘述證明思路，而不過分糾結詳細.由於$F$是平面上的有界閉集，因此可以用一個矩形將其覆蓋....
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摘要：$f(z)$在有界閉集$F$上連續，則有這樣的正實數$M$存在，使得不等式\begin{equation} \label{eq:2.00} |f(z)|\leq M\end{equation}在集$F$的所有點處都成立.證明:$F$只不過是平面上的點集$A\times B$.其中$A\subse...
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摘要：$f(z)$在有界閉集$F$上連續，則有這樣的正實數$M$存在，使得不等式\begin{equation} \label{eq:2.00} |f(z)|\leq M\end{equation}在集$F$的所有點處都成立.證明:$F$只不過是平面上的點集$A\times B$.其中$A\subse...
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摘要：有界閉集$F$上的連續復變函數$f(z)$具有一致連續性，也就是說:對於任意給定的複數$\varepsilon$,都存在相應的複數$\delta$,使得對於$F$上的任意點$x_0$來說，當$|x-x_0|<|\delta|$時，都有\begin{equation} |f(x)-f(x_0)|<|...
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摘要：若$f(z)$與$\phi(z)$在點$z_0$處都連續，則$f(z)+\phi(z)$,$f(z)\cdot\phi(z)$以及$\frac{f(z)}{\phi(z)}$都是連續的.證明:$f(z)$在$z_0$處連續，意味着對於任意給定的模大於0的複數$\varepsilon_1$,都存在相應...
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摘要：若$f(z)$與$\phi(z)$在點$z_0$處都連續，則$f(z)+\phi(z)$,$f(z)\cdot\phi(z)$以及$\frac{f(z)}{\phi(z)}$都是連續的.證明:$f(z)$在$z_0$處連續，意味着對於任意給定的模大於0的複數$\varepsilon_1$,都存在相應...
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摘要：若級數$\sum_{i=1}^{\infty}w_k'$和$\sum_{i=1}^{\infty}w_k''$都絕對收斂,且其和爲$s'$和$s''$.則級數\begin{equation} \label{eq:11.22} \sum_{k=1}^{\infty}(w_1'w_k''+w_2'w...
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摘要：若級數$\sum_{i=1}^{\infty}w_k'$和$\sum_{i=1}^{\infty}w_k''$都絕對收斂,且其和爲$s'$和$s''$.則級數\begin{equation} \label{eq:11.22} \sum_{k=1}^{\infty}(w_1'w_k''+w_2'w...
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摘要：若$w_k=a_kb_k$,其中 \begin{equation} \label{eq:12.47} |\sum_1^na_k|\leq M(n=1,2,3,\cdots),\lim_{k\to\infty}b_k=0 \end{equation}且級數$\sum_1^{\infty}|b_k-b_...
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摘要：若$w_k=a_kb_k$,其中 \begin{equation} \label{eq:12.47} |\sum_1^na_k|\leq M(n=1,2,3,\cdots),\lim_{k\to\infty}b_k=0 \end{equation}且級數$\sum_1^{\infty}|b_k-b_...
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摘要：这是武汉铁路铁路职业技术学院的彭军写的一篇文章.我想说明以下几点:1.我认为例2这个例子举的不好，因为虽然例2不能用达朗贝尔判别法进行判断收敛，但是很容易稍微改变一下达朗贝尔判别法来判定收敛.实际上，在《解析函数论》的第22页里，达朗贝尔判别法是这样叙述的:2.定理1是显然的.而定理2中这种条件的作...
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摘要：这是武汉铁路铁路职业技术学院的彭军写的一篇文章.我想说明以下几点:1.我认为例2这个例子举的不好，因为虽然例2不能用达朗贝尔判别法进行判断收敛，但是很容易稍微改变一下达朗贝尔判别法来判定收敛.实际上，在《解析函数论》的第22页里，达朗贝尔判别法是这样叙述的:2.定理1是显然的.而定理2中这种条件的作...
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摘要：之所以柯西判别法比达朗贝尔判别法更普遍,是因为根据达朗贝尔判别法,只能得出$|w_{n+m}|\leq q^m |w_n|$,即$\sqrt[m]{|w_{n+m}|}\leq q\sqrt[m]{|w_n|}$.
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摘要：之所以柯西判别法比达朗贝尔判别法更普遍,是因为根据达朗贝尔判别法,只能得出$|w_{n+m}|\leq q^m |w_n|$,即$\sqrt[m]{|w_{n+m}|}\leq q\sqrt[m]{|w_n|}$.
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摘要：如果$f\in R(\alpha)[a,b]$,则有$\alpha\in R(f)[a,b]$,而且$$\int_a^bfd\alpha+\int_a^b\alpha df=f(b)\alpha(b)-f(a)\alpha(a)$$.现在用阿贝尔变换证明它：$f\in R(\alpha)[a,b]$...
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摘要：如果$f\in R(\alpha)[a,b]$,则有$\alpha\in R(f)[a,b]$,而且$$\int_a^bfd\alpha+\int_a^b\alpha df=f(b)\alpha(b)-f(a)\alpha(a)$$.现在用阿贝尔变换证明它：$f\in R(\alpha)[a,b]$...
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摘要：定义于点$x_0$的邻域内的函数$f(x)$在该点处为解析的充分必要条件是:1.它在这一点的某一邻域内无穷次可微.2.有这样的正数$\delta,M$存在，使得对于区间$(x_0-\delta,x_0+\delta)$中的任意$x$与对于任意自然数$k$,成立不等式\begin{equation}|...
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摘要：定义于点$x_0$的邻域内的函数$f(x)$在该点处为解析的充分必要条件是:1.它在这一点的某一邻域内无穷次可微.2.有这样的正数$\delta,M$存在，使得对于区间$(x_0-\delta,x_0+\delta)$中的任意$x$与对于任意自然数$k$,成立不等式\begin{equation}|...
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摘要：当$|x|<1$时，$\log (1+x)$的泰勒展开.解:是\begin{equation} \label{eq:11.13} x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+\cdots\end{equation}易得当$|x|<1$时，\beg...
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摘要：当$|x|<1$时，$\log (1+x)$的泰勒展开.解:是\begin{equation} \label{eq:11.13} x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+\cdots\end{equation}易得当$|x|<1$时，\beg...
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摘要：In order to study the convergence of $(1+\frac{1}{n})^n$ to$e$,consider the sequences \begin{equation} a_n=(1+\frac{1}{n})^n~~~\mbox{and}~~~b_n=(...
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摘要：(Bernoulli's inequality;Jac.Bernoulli 1689,see 1744,Opera,p.380;Barrow1670,see 1860,Works,Lectio VII,XIII,p.224).By induction on $n$,provethat1.\begin...
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摘要：(Bernoulli's inequality;Jac.Bernoulli 1689,see 1744,Opera,p.380;Barrow1670,see 1860,Works,Lectio VII,XIII,p.224).By induction on $n$,provethat1.\begin...
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摘要：By using $2\cdot 4^3-5^3=3$,obtain the formula\begin{equation} \label{eq:12.38} \sqrt[3]{2}=\frac{5}{4}(1+\frac{1}{1\cdot 125}-\frac{2}{1\cdot 2\...
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摘要：By using $2\cdot 4^3-5^3=3$,obtain the formula\begin{equation} \label{eq:12.38} \sqrt[3]{2}=\frac{5}{4}(1+\frac{1}{1\cdot 125}-\frac{2}{1\cdot 2\...
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摘要：Verify the following formula(Euler 1755,Opera vol.X,p.280) by using$50=2\cdot 5^2=7^2+1$: \begin{equation} \label{eq:11.27} \sqrt{2}=\frac{7}{...
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摘要：Verify the following formula(Euler 1755,Opera vol.X,p.280) by using$50=2\cdot 5^2=7^2+1$: \begin{equation} \label{eq:11.27} \sqrt{2}=\frac{7}{...
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摘要：级数\begin{equation}\label{eq:1.fuck} \sin x_0+\frac{\cos x_0}{1!}(x-x_0)+\cdots +\frac{\sin (x_0+n\frac{\pi}{2})}{n!}(x-x_0)^n+\cdots\end{equation}绝对收...
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摘要：级数\begin{equation}\label{eq:1.fuck} \sin x_0+\frac{\cos x_0}{1!}(x-x_0)+\cdots +\frac{\sin (x_0+n\frac{\pi}{2})}{n!}(x-x_0)^n+\cdots\end{equation}绝对收...
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摘要：数集$\{(1+\frac{1}{n})^n|n\in\mathbf{N}\}$有上界.证明:引理1:令$f(x)=(a^t)^x$,$g(x)=a^x$,其中$a>1,t\in\mathbf{N}^{+}$.则\begin{equation} f'(0)=tg'(0)\end{equation}...
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摘要：设$a$为任意有理数，当$|x|<1$时，无限级数 \begin{equation} \label{eq:1.4999} 1+\frac{a}{1}x+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3+\cdots \end{equati...
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摘要：设$a$为任意有理数，当$|x|<1$时，无限级数 \begin{equation} \label{eq:1.4999} 1+\frac{a}{1}x+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3+\cdots \end{equati...
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摘要：如果$ax^2+2bx+c$有一个二重根，也即它有$a(x-\alpha)^2$的形式，那么$2ax+2b$必定可以被$x-\alpha$整除，所以有$\alpha=\frac{-b}{a}$.而且有$a\alpha^2+2b\alpha+c=0$,因此$b^2=ac$.应用(纯数学教程 Page ...
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摘要：如果$ax^2+2bx+c$有一个二重根，也即它有$a(x-\alpha)^2$的形式，那么$2ax+2b$必定可以被$x-\alpha$整除，所以有$\alpha=\frac{-b}{a}$.而且有$a\alpha^2+2b\alpha+c=0$,因此$b^2=ac$.应用(纯数学教程 Page ...
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摘要：求$x^4+3x^3-3x^2-11x-6=0$所有的根以及重根的阶.解答:这道题的解决有赖于如下的结论:1.不可约多项式$p(x)$是$f(x)$的重因式的充分必要条件是$p(x)$是$f(x)$和$f'(x)$的公因式.该结论的证明是简单的.因此如果$x^4+3x^3-3x^2-11x-6=0$...
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摘要：求$x^4+3x^3-3x^2-11x-6=0$所有的根以及重根的阶.解答:这道题的解决有赖于如下的结论:1.不可约多项式$p(x)$是$f(x)$的重因式的充分必要条件是$p(x)$是$f(x)$和$f'(x)$的公因式.该结论的证明是简单的.因此如果$x^4+3x^3-3x^2-11x-6=0$...
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摘要：证明:分解的存在性是容易证明的.我只用证明分解的唯一性.采用数学归纳法.当$f(x)$可以分解成$a_0q_1(x)$这种形式时,其中$q_1(x)$不可约,那么容易证明此时分解是唯一的.假设当$f(x)$可以分解成$a_0q_1(x)q_2(x)\cdots q_n(x)$时,其中$\forall...
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摘要：证明:分解的存在性是容易证明的.我只用证明分解的唯一性.采用数学归纳法.当$f(x)$可以分解成$a_0q_1(x)$这种形式时,其中$q_1(x)$不可约,那么容易证明此时分解是唯一的.假设当$f(x)$可以分解成$a_0q_1(x)q_2(x)\cdots q_n(x)$时,其中$\forall...
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摘要：如果$f_1(x)|g(x)$,$f_2(x)|g(x)$,且$(f_1(x),f_2(x))=1$,则$f_1(x)f_2(x)|g(x)$.证明:不妨设$g(x)=f_1(x)k_1(x)$.则$f_2(x)|f_1(x)k_1(x)$.由于$f_1(x)$与$f_{2}(x)$互素，因此$f_...
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摘要：如果$f_1(x)|g(x)$,$f_2(x)|g(x)$,且$(f_1(x),f_2(x))=1$,则$f_1(x)f_2(x)|g(x)$.证明:不妨设$g(x)=f_1(x)k_1(x)$.则$f_2(x)|f_1(x)k_1(x)$.由于$f_1(x)$与$f_{2}(x)$互素，因此$f_...
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摘要：试利用辗转相除法，求有理系数多项式$u(x)$和$v(x)$,使得$u(x)f(x)+v(x)g(x)=(f(x),g(x))$.(1)$f(x)=3x^3-2x^2+x+2$,$g(x)=x^2-x+1$.解:\begin{align*} 3x^3-2x^2+x+2&=3x(x^2-x+1)+(...
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摘要：试利用辗转相除法，求有理系数多项式$u(x)$和$v(x)$,使得$u(x)f(x)+v(x)g(x)=(f(x),g(x))$.(1)$f(x)=3x^3-2x^2+x+2$,$g(x)=x^2-x+1$.解:\begin{align*} 3x^3-2x^2+x+2&=3x(x^2-x+1)+(...
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摘要：求下列各组复多项式的最高公因式:(1)$x^3+(2+i)x^2+(3+2i)x+6$,$x^5+ix^4+10x^3+28x+21i$.解:\begin{align*} x^5+ix^4+10x^3+28x+21i&=x^2(x^3+(2+i)x^2+(3+2i)x+6)+(-2x^4+(7-2...
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摘要：求下列各组复多项式的最高公因式:(1)$x^3+(2+i)x^2+(3+2i)x+6$,$x^5+ix^4+10x^3+28x+21i$.解:\begin{align*} x^5+ix^4+10x^3+28x+21i&=x^2(x^3+(2+i)x^2+(3+2i)x+6)+(-2x^4+(7-2...
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摘要：Let $m$ successive integers $a,a+1,a+2,\cdots,a+m-1$ and anotherinterger $A$ be given,then one,and only one,of these integers will becongruent to to $...
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摘要：(Division algorithm) 令 $a$ 和 $d$ 为整数且 $d \geq 1$.则存在唯一的整数 $q$ 与 $r$ 使得 $$a=dq+r$$ 且$$0\leq r\leq d-1$$Proof:根据自然数的公理化构造及其性质定理16可知，当$a$是自然数时，存在性已经得证.当$...
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摘要：(Division algorithm) 令 $a$ 和 $d$ 为整数且 $d \geq 1$.则存在唯一的整数 $q$ 与 $r$ 使得 $$a=dq+r$$ 且$$0\leq r\leq d-1$$Proof:根据自然数的公理化构造及其性质定理16可知，当$a$是自然数时，存在性已经得证.当$...
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摘要：Suppose $p$ is a positive prime number,we now define a binary operation $\bigotimes$:If $rs\equiv t (\hbox{mod}p)(0\leq t\leq p-1)$,then we say $r\big...
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摘要：一集合$R$,同时拥有两种二元运算$+$与$\times$成一环，假若1.$R$关于加法+形成交换群.2.乘法结合律：$\forall a,b,c\in R$,$a\times (b\times c)=(a\times b)\times c$3.加乘分配律：$$\forall a,b,c\in R,...
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摘要：一集合$R$,同时拥有两种二元运算$+$与$\times$成一环，假若1.$R$关于加法+形成交换群.2.乘法结合律：$\forall a,b,c\in R$,$a\times (b\times c)=(a\times b)\times c$3.加乘分配律：$$\forall a,b,c\in R,...
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摘要：设多项式$f(x)=a_nx_n+\cdots+a_1x+a_0$和$g(x)=b_nx_n+\cdots+b_1x+b_0(n\geq 1)$.$f(x)$和$g(x)$乘起来之后，得到$f(x)g(x)$,规定$x_k(0\leq k\leq 2n)$的系数是$\displaystyle\sum...
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摘要：设多项式$f(x)=a_nx_n+\cdots+a_1x+a_0$和$g(x)=b_nx_n+\cdots+b_1x+b_0(n\geq 1)$.$f(x)$和$g(x)$乘起来之后，得到$f(x)g(x)$,规定$x_k(0\leq k\leq 2n)$的系数是$\displaystyle\sum...
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摘要：证明:如果$\phi(x)$是一个多项式,且$\phi(x)$能被$(x-a)$整除，且$\phi'(x)$能被$(x-a)^{m-1}$整除，那么$\phi(x)$能被$(x-a)^m$整除. 证明:根据多项式函数在某一点处的泰勒展开，可知多项式$\phi(x)$在$a$处的幂级数展开为 \be...
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摘要：证明:如果$\phi(x)$是一个多项式,且$\phi(x)$能被$(x-a)$整除，且$\phi'(x)$能被$(x-a)^{m-1}$整除，那么$\phi(x)$能被$(x-a)^m$整除. 证明:根据多项式函数在某一点处的泰勒展开，可知多项式$\phi(x)$在$a$处的幂级数展开为 \be...
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摘要：证明:如果$\phi(x)$是一个多项式,$\phi(x)$可以被$(x-a)^m$整除，则$\phi'(x)$可以被$(x-a)^{m-1}$整除.证明:设$\phi(x)=P(x)(x-a)^m$.则$\phi'(x)=P'(x)(x-a)^m+mP(x)(x-a)^{m-1}$.而显然\beg...
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摘要：证明:如果$\phi(x)$是一个多项式,$\phi(x)$可以被$(x-a)^m$整除，则$\phi'(x)$可以被$(x-a)^{m-1}$整除.证明:设$\phi(x)=P(x)(x-a)^m$.则$\phi'(x)=P'(x)(x-a)^m+mP(x)(x-a)^{m-1}$.而显然\beg...
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