09 2012 档案
摘要：提到数学中的公理化方法，便不能不提到《几何原本》.《几何原本》是古希腊数学家欧几里德的关于平面几何的杰作，是2000年来世界上流传最广泛的教科书.《几何原本》开数学公理化之先河，利用公理化方法，把平面几何中不成体系的凌乱的结果用严密的逻辑编制成一条数学之链.在《几何原本》的开始，欧几里德不加定义地引...
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摘要：提到数学中的公理化方法，便不能不提到《几何原本》.《几何原本》是古希腊数学家欧几里德的关于平面几何的杰作，是2000年来世界上流传最广泛的教科书.《几何原本》开数学公理化之先河，利用公理化方法，把平面几何中不成体系的凌乱的结果用严密的逻辑编制成一条数学之链.在《几何原本》的开始，欧几里德不加定义地引...
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摘要：Suppose$ f$ has a second derivative everywhere,and that $ f^{''}+f=0$.$ f(0)=0$,$ f^{'}(0)=0$.Then $ f=0$.Proof:Let me first prove that $ \forall x\in...
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摘要：Suppose$ f$ has a second derivative everywhere,and that $ f^{''}+f=0$.$ f(0)=0$,$ f^{'}(0)=0$.Then $ f=0$.Proof:Let me first prove that $ \forall x\in...
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摘要：设$f:X\to Y$是可逆函数，反函数为$f^{-1}:Y\to X$.设$x_0\in X,y_0\inY$,且$y_0=f(x_0)$(它蕴含$x_0=f^{-1}(y_0)$).如果$f$在$x_0$处可微，且$f^{-1}$在$y_0$处可微，则 \begin{equation} ...
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摘要：设$f:X\to Y$是可逆函数，反函数为$f^{-1}:Y\to X$.设$x_0\in X,y_0\inY$,且$y_0=f(x_0)$(它蕴含$x_0=f^{-1}(y_0)$).如果$f$在$x_0$处可微，且$f^{-1}$在$y_0$处可微，则 \begin{equation} ...
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摘要：哥在哆嗒数学群(128709478)里混,哆嗒数学群是我见过的比较正经的数学群.今天哆嗒群里有人提了一个三角形的不等式，我花了几分钟解答了一下.事后想想这个结论挺朴素,我喜欢.正好现在闲的蛋疼，于是决定提笔(严格地说是打字)记录一下.如图,三角形ABC.点D在ABC内部.求证AB+AC>BD+DC....
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摘要：哥在哆嗒数学群(128709478)里混,哆嗒数学群是我见过的比较正经的数学群.今天哆嗒群里有人提了一个三角形的不等式，我花了几分钟解答了一下.事后想想这个结论挺朴素,我喜欢.正好现在闲的蛋疼，于是决定提笔(严格地说是打字)记录一下.如图,三角形ABC.点D在ABC内部.求证AB+AC>BD+DC....
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摘要：设$f:[a,b]\to\mathbf{R}$是区间$[a,b]$上的连续函数，其中$a,b\in\mathbf{R}$且$a<b$.则存在$a<\varepsilon<b$,使得 \begin{equation} \label{eq:27.20.42} \int_a^bf(x)dx...
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摘要：设$f:[a,b]\to\mathbf{R}$是区间$[a,b]$上的连续函数，其中$a,b\in\mathbf{R}$且$a<b$.则存在$a<\varepsilon<b$,使得 \begin{equation} \label{eq:27.20.42} \int_a^bf(x)dx...
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摘要：设$a0}\frac{F(x_0+\Delta x)-F(x_0)}{\Delta x}=f(x_0) \end{equation} \ref{eq:22.20.40}也就是说:当$\Delta x$从正方向与0足够接近的时候， \begin{equation} \lab...
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摘要：设$a0}\frac{F(x_0+\Delta x)-F(x_0)}{\Delta x}=f(x_0) \end{equation} \ref{eq:22.20.40}也就是说:当$\Delta x$从正方向与0足够接近的时候， \begin{equation} \lab...
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摘要：设$f$在$[a,b]$上定义且有界，$D$表示$f$在$[a,b]$内的间断点（即不连续的点）集.$f$在$[a,b]$上黎曼可积当且仅当$D$是零测集.证明:只要理解了开集的构造和黎曼积分的推广——采用任意无限分割时这两篇文章，这个结论是容易的.但是，我仍然认为写一写是有好处的.$\Righta...
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摘要：设$f$在$[a,b]$上定义且有界，$D$表示$f$在$[a,b]$内的间断点（即不连续的点）集.$f$在$[a,b]$上黎曼可积当且仅当$D$是零测集.证明:只要理解了开集的构造和黎曼积分的推广——采用任意无限分割时这两篇文章，这个结论是容易的.但是，我仍然认为写一写是有好处的.$\Righta...
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摘要：设$A\subseteq B\subseteq \mathbb{R}^n$,$B$是$\mathbb{R}^n$上的勒贝格可测集，且测度为0，则$A$可测且$A$的测度为0.证明：由于$m^*(B)=0$,根据外测度的单调性，$m^*(A)\leq m^*(B)=0$.下证$A$是可测的.即证$\f...
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摘要：设$A\subseteq B\subseteq \mathbb{R}^n$,$B$是$\mathbb{R}^n$上的勒贝格可测集，且测度为0，则$A$可测且$A$的测度为0.证明：由于$m^*(B)=0$,根据外测度的单调性，$m^*(A)\leq m^*(B)=0$.下证$A$是可测的.即证$\f...
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摘要：设$f$在$[a,b]$上定义且有界，对于每一个$\varepsilon>0$定义集合$J_{\varepsilon}$如下：$$J_{\varepsilon}=\{x:x\in [a,b],w_f(x)\geq \varepsilon\}$$则$J_{\varepsilon}$是闭集.证明：要证明...
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摘要：设$f$在$[a,b]$上定义且有界，对于每一个$\varepsilon>0$定义集合$J_{\varepsilon}$如下：$$J_{\varepsilon}=\{x:x\in [a,b],w_f(x)\geq \varepsilon\}$$则$J_{\varepsilon}$是闭集.证明：要证明...
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摘要：令$E=\{(x,y):y>0\}\subset \mathbb{R}^2$，则$E$是可测集.证明：令$W=\{(x,y):y<0\}\subset\mathbb{R}^2\}$.令$T=\{(x,y):y=0\}\subset\mathbb{R}^2$.设$A$是$\mathbb{R}^2$上任...
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摘要：令$E=\{(x,y):y>0\}\subset \mathbb{R}^2$，则$E$是可测集.证明：令$W=\{(x,y):y<0\}\subset\mathbb{R}^2\}$.令$T=\{(x,y):y=0\}\subset\mathbb{R}^2$.设$A$是$\mathbb{R}^2$上任...
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摘要：1.如果$A_1\subseteq A_2\subseteq A_3\cdots$是可测集的增序列，那么我们有$$m(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i)=\lim_{i\to\infty}m(A_i)$$证明：首先，由$\sigma$代数性质可知$\bigcup_{i=1}^{\i...
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摘要：1.若$E$是$R^n$中的可测集，则$R^n\backslash E$也为可测集.证明：$E$在$R^n$中可测，说明$\forall A\subset R^n$,$m^*(A)=m^*(A\bigcap E)+m^*(A\backslash E)$.下面我来证明$$m^*(A)=m^*(A\bi...
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摘要：在这个混乱的星球上，有两大神器.一个是Emacs,另一个是……Vim?No.对学数学的人来说，另一大神器是$\LaTeX$.学数学的朋友对于后者可能比较熟悉,$\LaTeX$是计算机界的大牛,图灵奖得主高德纳的力作,是写数学论文的不二选择(严格地说高德纳发明的是TeX,$\LaTeX$是在TeX的基...
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摘要：\begin{equation}m^*(\bigcup_{j\in \mathbb{N}^+}E_j)=\lim_{N\to\infty}m^*(\bigcup_{j=1}^{N}E_j)\end{equation}证明:由于$\forall N\in\mathbb{N}^+$,$\bigcup_{...
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摘要：勒贝格外测度的性质 (1)正性：对于每个集合$\Omega$,有$0\leq m^*(\Omega)\leq \infty$. 证明：由于是在广义实数的范围内思考问题，因此$\infty$是合法的.而且由于$\sum_{j=1}^{\infty}\hbox{vol}(B_j)$始终大于0，因此$...
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摘要：勒贝格外测度的性质 (1)正性：对于每个集合$\Omega$,有$0\leq m^*(\Omega)\leq \infty$. 证明：由于是在广义实数的范围内思考问题，因此$\infty$是合法的.而且由于$\sum_{j=1}^{\infty}\hbox{vol}(B_j)$始终大于0，因此$...
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摘要：开集的构造:若$S$是$\mathbf{R}$上的非空开集，则$S$可以表示成有限或可数个互不相交的开区间之并.为证明此定理，先介绍一个引理.$S\subseteq \mathbf{R}$,且$S$中的每一个点都是$S$的孤立点，则$S$是至多可数集.证明：由于$S$中的每一个点都是$S$的孤立点，...
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摘要：开集的构造:若$S$是$\mathbf{R}$上的非空开集，则$S$可以表示成有限或可数个互不相交的开区间之并.为证明此定理，先介绍一个引理.$S\subseteq \mathbf{R}$,且$S$中的每一个点都是$S$的孤立点，则$S$是至多可数集.证明：由于$S$中的每一个点都是$S$的孤立点，...
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摘要：我们把黎曼积分推广一下.黎曼积分里要求对区间$[a,b]$进行任意的有限分割.我们看看对区间$[a,b]$进行任意的分割(有限或无限的分割)会发生什么事.更具体地叙述如下：设$f$是闭区间$[a,b]$上的有界函数(之所以规定有界，是因为$[a,b]$上的无界函数不是黎曼可积的)，设$P$是对$[a...
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摘要：Let $\sum$ be a subset of $\mathbf{R}$ containing $0$ and $1$,the set $E(\sum)$ of all real numbers which are constructable from $\sum$ satisfies the ...
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摘要：Let $\sum$ be a subset of $\mathbf{R}$ containing $0$ and $1$,the set $E(\sum)$ of all real numbers which are constructable from $\sum$ satisfies the ...
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摘要：Definition 1.1.1.Let $\sum$ be a set of points in the plane $\mathbf{R}^2$. One saysthat a point $P$ is constructible with ruler and compass from $\su...
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摘要：Definition 1.1.1.Let $\sum$ be a set of points in the plane $\mathbf{R}^2$. One saysthat a point $P$ is constructible with ruler and compass from $\su...
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摘要：设$a0$(还剩下$\Delta x<0$的情形，以及$x_0=a$,$x_0=b$的情形，但是这些与下面的都大同小异，事实上，对于$\Delta x<0$的情形，只要下面的证明用上$\int_a^bf=-\int_b^af$就足够了),我们要证的是， \begin{equation}\label{...
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摘要：设$a<b$是实数，并设$f:[a,b]\to\mathbf{R}$是黎曼可积的，设$F:[a,b]\to\mathbf{R}$是函数$$F(x)=\int_{[a,x]}f$$那么$F$是连续的.证明:也就是证明，对于任意给定的正实数$\varepsilon$,都存在相应的正实数$\delta$,...
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摘要：设$f:\mathbf{R}^n\to \mathbf{R}^m$是可微函数，而且对于一切$x\in\mathbf{R}^n$,$f'(x)=0$.证明$f$是常数.证明:由于$\forall x\in\mathbf{R}^n$,$f'(x)=0$,因此对于一切非零向量$v$,$\forall x\...
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摘要：设$f:\mathbf{R}^n\to \mathbf{R}^m$是可微函数，而且对于一切$x\in\mathbf{R}^n$,$f'(x)=0$.证明$f$是常数.证明:由于$\forall x\in\mathbf{R}^n$,$f'(x)=0$,因此对于一切非零向量$v$,$\forall x\...
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摘要：1.数学不是教会的.数学是自己学会的.只有经过认真的思考，积极的思考，才可能真正学好数学.2.学数学，需要好的数学书.好的数学书是好的教材，以及大师写的书.坏的数学书是教辅书，考研书.
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摘要：1.数学不是教会的.数学是自己学会的.只有经过认真的思考，积极的思考，才可能真正学好数学.2.学数学，需要好的数学书.好的数学书是好的教材，以及大师写的书.坏的数学书是教辅书，考研书.
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摘要：设$E$是$\mathbf{R}^n$的子集合，$f:E\to\mathbf{R}^m$是函数，$x_0$是$E$的内点，$1\leq j\leq n$,证明$\frac{\partial f}{\partial x_j}(x_0)$存在的充分条件是$\mathbf{D}_{e_j}f(x_0)...
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摘要：设$E$是$\mathbf{R}^n$的子集合，$f:E\to\mathbf{R}^m$是函数，$x_0$是$E$的内点，$1\leq j\leq n$,证明$\frac{\partial f}{\partial x_j}(x_0)$存在的充分条件是$\mathbf{D}_{e_j}f(x_0)...
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摘要：本文继承了这篇博文.为了证明$f$在$x_0$处可微，我们只用证明，存在线性映射$T$,使得 \begin{equation}\lim_{x'\to x_0;x'\neq x_0}\frac{f(x')-f(x_0)-T(x'-x_0)}{||x'-x_0||}=0 \end{equation}...
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摘要：本文继承了这篇博文.为了证明$f$在$x_0$处可微，我们只用证明，存在线性映射$T$,使得 \begin{equation}\lim_{x'\to x_0;x'\neq x_0}\frac{f(x')-f(x_0)-T(x'-x_0)}{||x'-x_0||}=0 \end{equation}...
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摘要：我的目标是证明这个命题:设$E$是$\mathbf{R}^n$的子集，$f:E\to\mathbf{R}^m$是函数，$F$是$E$的子集合，且$x_0$是$F$的内点，如果在$F$上一切偏导数$\frac{\partial f}{\partial x_j}$都存在，且在$x_0$处连续，则$f$在...
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摘要：我的目标是证明这个命题:设$E$是$\mathbf{R}^n$的子集，$f:E\to\mathbf{R}^m$是函数，$F$是$E$的子集合，且$x_0$是$F$的内点，如果在$F$上一切偏导数$\frac{\partial f}{\partial x_j}$都存在，且在$x_0$处连续，则$f$在...
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摘要：设$f:\mathbf{R}^2\to \mathbf{R}$是函数，定义如下\begin{equation}\begin{cases} \frac{x^3}{x^2+y^2}~~~(x,y)\neq (0,0)\\0~~~(x,y)=(0,0)\\\end{cases}\end{equ...
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摘要：设$f:\mathbf{R}^2\to \mathbf{R}$是函数，定义如下\begin{equation}\begin{cases} \frac{x^3}{x^2+y^2}~~~(x,y)\neq (0,0)\\0~~~(x,y)=(0,0)\\\end{cases}\end{equ...
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摘要：设$E$是$\mathbf{R}^n$的子集，$f:E\to\mathbf{R}^m$是函数，$F$是$E$的子集合，并且$x_0$是$F$的内点，如果在$F$上一切偏导数都存在并且在$x_0$处连续，那么$f$在$x_0$处可微，而且线性变换由下式确定: \begin{equation}\la...
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摘要：设$E$是$\mathbf{R}^n$的子集，$f:E\to\mathbf{R}^m$是函数，$F$是$E$的子集合，并且$x_0$是$F$的内点，如果在$F$上一切偏导数都存在并且在$x_0$处连续，那么$f$在$x_0$处可微，而且线性变换由下式确定: \begin{equation}\la...
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摘要：设$E$是$\mathbf{R}^n$的子集合，$f:E\to \mathbf{R}^m$是函数，$x_0$是$E$的内点，并设$v$是$\mathbf{R^n}$中的非零向量，如果$f$在$x_0$处可微，则$f$在$x_0$处沿$v$也可微，且 \begin{equation} (\ma...
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摘要：设$E$是$\mathbf{R}^n$的子集合，$f:E\to \mathbf{R}^m$是函数，$x_0$是$E$的内点，并设$v$是$\mathbf{R^n}$中的非零向量，如果$f$在$x_0$处可微，则$f$在$x_0$处沿$v$也可微，且 \begin{equation} (\ma...
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摘要：设$E$是$\mathbf{R}^n$的子集合，$f:E\to \mathbf{R}^m$是函数，$x_0\inE$是$E$的内点，并设$L_1:\mathbf{R}^n\to\mathbf{R}^m$和$L_2:\mathbf{R}^n\to\mathbf{R}^m$都是线性变换.假设$f$在$x...
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摘要：设$E$是$\mathbf{R}^n$的子集合，$f:E\to \mathbf{R}^m$是函数，$x_0\inE$是$E$的内点，并设$L_1:\mathbf{R}^n\to\mathbf{R}^m$和$L_2:\mathbf{R}^n\to\mathbf{R}^m$都是线性变换.假设$f$在$x...
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摘要：$f:\Omega\subseteq\mathbf{R}^n\to \mathbf{R}^m$ is differentiable at$a$ if and only if there is a function $\epsilon(x)$ so that for$x\in\Omega$ we ha...
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摘要：$f:\Omega\subseteq\mathbf{R}^n\to \mathbf{R}^m$ is differentiable at$a$ if and only if there is a function $\epsilon(x)$ so that for$x\in\Omega$ we ha...
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摘要：设$X$是$\mathbf{R}$的子集合，$x_0$是$X$的极限点，并设$f:X\to\mathbf{R}$是函数.如果$f$在$x_0$处可微，那么$f$也在$x_0$处连续.证明： $f$在$x_0$处可微，意味着存在实数$L$,使得 \begin{equation} \lim_{...
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摘要：设$X$是$\mathbf{R}$的子集合，$x_0$是$X$的极限点，并设$f:X\to\mathbf{R}$是函数.如果$f$在$x_0$处可微，那么$f$也在$x_0$处连续.证明： $f$在$x_0$处可微，意味着存在实数$L$,使得 \begin{equation} \lim_{...
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摘要：设$X$是$\mathbf{R}$的子集合，$x_0$是$X$的极限点，设$f:X\to\mathbf{R}$是函数，并设$L$是实数，则下述命题在逻辑上等价：(a):$f$在$x_0$处在$X$上可微，且导数为$L$.(b):对于每个$\varepsilon>0$，都存在$\delta>0$,使得...
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摘要：设$X$是$\mathbf{R}$的子集合，$x_0$是$X$的极限点，设$f:X\to\mathbf{R}$是函数，并设$L$是实数，则下述命题在逻辑上等价：(a):$f$在$x_0$处在$X$上可微，且导数为$L$.(b):对于每个$\varepsilon>0$，都存在$\delta>0$,使得...
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摘要：设$f:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R}^2$是映射$f(x,y)=(x^2,y^2)$.设$x_0$是点$x_0:=(1,2)$.并设$L:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R}^2$是映射$L(x,y):=(2x,4y)$.我们断言$f$在点$x_0$处可微，具有导...
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摘要：设$f:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R}^2$是映射$f(x,y)=(x^2,y^2)$.设$x_0$是点$x_0:=(1,2)$.并设$L:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R}^2$是映射$L(x,y):=(2x,4y)$.我们断言$f$在点$x_0$处可微，具有导...
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摘要：Analysis Terence Tao Exercise 17.1.4
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摘要：Analysis Terence Tao Exercise 17.1.4
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摘要：Analysis Terence Tao Lemma 17.1.16
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