08 2012 档案
摘要：设$A,B$是$G$的子群.则$A\bigcup B$是$G$的子群的充要条件是$A\subseteq B$或$B\subseteq A$.证明：$\Leftarrow$:这是显然的.$\Rightarrow$:假若$\exists b\in B$,使得$b\not\in A$,现在我要证明$A\...
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摘要：设$A,B$是$G$的子群.则$A\bigcup B$是$G$的子群的充要条件是$A\subseteq B$或$B\subseteq A$.证明：$\Leftarrow$:这是显然的.$\Rightarrow$:假若$\exists b\in B$,使得$b\not\in A$,现在我要证明$A\...
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摘要：1.若一个元素在群内，则它的逆元也在群内.2.若两个元素都在群内，则这两个元素以任意顺序互相作用后仍在群内.3.若一个元素在子群外，另一个元素在子群内，则这两个元素互相作用在子群外.4.若一个元素在子群外，则该元素的逆元也在子群外.
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摘要：1.若一个元素在群内，则它的逆元也在群内.2.若两个元素都在群内，则这两个元素以任意顺序互相作用后仍在群内.3.若一个元素在子群外，另一个元素在子群内，则这两个元素互相作用在子群外.4.若一个元素在子群外，则该元素的逆元也在子群外.
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摘要：A group of transformations on set $ {S}$ is a set $ {G}$.$ {G}$ is a set of bijections from $ {S}$ to itself. And $ {G}$ is a group,which means that ...
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摘要：A group of transformations on set $ {S}$ is a set $ {G}$.$ {G}$ is a set of bijections from $ {S}$ to itself. And $ {G}$ is a group,which means that ...
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摘要：求以直线$x=y=z$为轴，过直线$2x=3y=-5z$的圆锥面方程.解：两条直线显然相交于原点.设圆锥面上的任意一点为$(x,y,z)$.我们知道直线$2x=3y=-5z$的方向向量为$(15,10,-6)$.则直线$x=y=z$的方向向量为$(1,1,1)$.我们知道\begin{equati...
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摘要：求以直线$x=y=z$为轴，过直线$2x=3y=-5z$的圆锥面方程.解：两条直线显然相交于原点.设圆锥面上的任意一点为$(x,y,z)$.我们知道直线$2x=3y=-5z$的方向向量为$(15,10,-6)$.则直线$x=y=z$的方向向量为$(1,1,1)$.我们知道\begin{equati...
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摘要：一条直线$l_1$绕另一条直线$l_2$旋转所得的旋转面的分类讨论：1.若直线$l_1$与直线$l_2$重合，则旋转面是一条直线$l_1$.2.若直线$l_1$与直线$l_2$不重合，则$l_1$和$l_2$之间必有公垂线.设$l_1$的方程为\begin{equation}\label{eq:1...
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摘要：一条直线$l_1$绕另一条直线$l_2$旋转所得的旋转面的分类讨论：1.若直线$l_1$与直线$l_2$重合，则旋转面是一条直线$l_1$.2.若直线$l_1$与直线$l_2$不重合，则$l_1$和$l_2$之间必有公垂线.设$l_1$的方程为\begin{equation}\label{eq:1...
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摘要：求$yz$面上二次曲线\begin{equation} \begin{cases} \frac{y^2}{a^2}=2z\\x=0\\ \end{cases}\end{equation}绕$z$轴旋转所得的二次曲面的方程.解：对于二次曲面上的任意点$p=(x,y,z)$.都存在相应的二次曲面上的...
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摘要：求$yz$面上二次曲线\begin{equation} \begin{cases} \frac{y^2}{a^2}=2z\\x=0\\ \end{cases}\end{equation}绕$z$轴旋转所得的二次曲面的方程.解：对于二次曲面上的任意点$p=(x,y,z)$.都存在相应的二次曲面上的...
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摘要：求$yz$面上二次曲线\begin{equation} \begin{cases} \frac{z^2}{c^2}-\frac{y^2}{a^2}=1\\x=0\\ \end{cases}\end{equation}绕$z$轴旋转所得的二次曲面的方程.解：对于二次曲面上的任意点$p=(x,y,z...
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摘要：求$yz$面上二次曲线\begin{equation} \begin{cases} \frac{z^2}{c^2}-\frac{y^2}{a^2}=1\\x=0\\ \end{cases}\end{equation}绕$z$轴旋转所得的二次曲面的方程.解：对于二次曲面上的任意点$p=(x,y,z...
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摘要：求$yz$面上二次曲线\begin{equation} \begin{cases} \frac{y^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\\x=0\\ \end{cases}\end{equation}绕$z$轴旋转所得的二次曲面的方程.解：对于二次曲面上的任意点$p=(x,y,z...
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摘要：求$yz$面上二次曲线\begin{equation} \begin{cases} \frac{y^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\\x=0\\ \end{cases}\end{equation}绕$z$轴旋转所得的二次曲面的方程.解：对于二次曲面上的任意点$p=(x,y,z...
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摘要：求$yz$面上二次曲线\begin{equation} \begin{cases} \frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\\x=0\\ \end{cases}\end{equation}绕$z$轴旋转所得的二次曲面的方程.解：对于二次曲面上的任意点$p=(x,y,z...
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摘要：求$yz$面上二次曲线\begin{equation} \begin{cases} \frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\\x=0\\ \end{cases}\end{equation}绕$z$轴旋转所得的二次曲面的方程.解：对于二次曲面上的任意点$p=(x,y,z...
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摘要：当$b>a>0$时，圆\begin{equation} \begin{cases} (y-b)^2+z^2=a^2\\x=0\\ \end{cases}\end{equation}绕$z$轴旋转所成的曲面称为圆环面，试写出圆环面的方程.解：点$p=(x,y,z)$在圆环面上，当且仅当存在圆环面上...
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摘要：当$b>a>0$时，圆\begin{equation} \begin{cases} (y-b)^2+z^2=a^2\\x=0\\ \end{cases}\end{equation}绕$z$轴旋转所成的曲面称为圆环面，试写出圆环面的方程.解：点$p=(x,y,z)$在圆环面上，当且仅当存在圆环面上...
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摘要：在一个仿射标架中，设平面$\pi$的方程为$ax+by+cz=d$.对空间的每一点$p(x,y,z)$,定义$f(p)=ax+by+cz-d$.证明：对于空间中任意两点$p_1,p_2$,它们位于平面的两侧，当且仅当$f(p_1)f(p_2)<0$.证明：当$c\neq 0$时，我们定义平面的上方...
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摘要：在一个仿射标架中，设平面$\pi$的方程为$ax+by+cz=d$.对空间的每一点$p(x,y,z)$,定义$f(p)=ax+by+cz-d$.证明：对于空间中任意两点$p_1,p_2$,它们位于平面的两侧，当且仅当$f(p_1)f(p_2)<0$.证明：当$c\neq 0$时，我们定义平面的上方...
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摘要：求直线 \begin{equation} \frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1} \end{equation}和平面\begin{equation} x-2y+4z=1\end{equation}之间的夹角.解：直线的方向向量为$(2,1,-1)$.平面...
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摘要：求直线 \begin{equation} \frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1} \end{equation}和平面\begin{equation} x-2y+4z=1\end{equation}之间的夹角.解：直线的方向向量为$(2,1,-1)$.平面...
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摘要：在直角坐标系下，求下列直线的公垂线方程.\begin{equation}\begin{cases}x+y=1\\z=0\\ \end{cases}\end{equation}\begin{equation}\begin{cases} x-z=-1\\2y+z=2\\\end{cases}\end{...
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摘要：在直角坐标系下，求下列直线的公垂线方程.\begin{equation}\begin{cases}x+y=1\\z=0\\ \end{cases}\end{equation}\begin{equation}\begin{cases} x-z=-1\\2y+z=2\\\end{cases}\end{...
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摘要：在直角坐标系下，求下列直线的公垂线方程.\begin{equation}\label{eq:1}\frac{x-1}{-1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{0}\end{equation}\begin{equation}\label{eq:2}\frac{x-1}{2}=\frac{y}...
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摘要：在直角坐标系下，求下列直线的公垂线方程.\begin{equation}\label{eq:1}\frac{x-1}{-1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{0}\end{equation}\begin{equation}\label{eq:2}\frac{x-1}{2}=\frac{y}...
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摘要：已知直线\begin{equation}l_1:\frac{x-a_1}{l_1}=\frac{y-b_1}{n_1}=\frac{z-c_1}{m_1}\end{equation}直线\begin{equation}l_2:\frac{x-a_2}{l_2}=\frac{y-b_2}{n_2}=...
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摘要：已知直线\begin{equation}l_1:\frac{x-a_1}{l_1}=\frac{y-b_1}{n_1}=\frac{z-c_1}{m_1}\end{equation}直线\begin{equation}l_2:\frac{x-a_2}{l_2}=\frac{y-b_2}{n_2}=...
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摘要：求直线\begin{equation}l_1: \begin{cases} x+y-z=-1\\x+y=0\\ \end{cases}\end{equation}和直线\begin{equation}l_2: \begin{cases} x-2y+3z=6\\2x-y+3z=6\\ \end{...
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摘要：求直线\begin{equation}l_1: \begin{cases} x+y-z=-1\\x+y=0\\ \end{cases}\end{equation}和直线\begin{equation}l_2: \begin{cases} x-2y+3z=6\\2x-y+3z=6\\ \end{...
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摘要：求直线之间的距离$l_1:\frac{x+1}{-1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z+5}{2}$.$l_2:\frac{x}{3}=\frac{y-6}{-9}=\frac{z+5}{-6}$.解：点$q=(-1,1,-5)$在直线$l_1$上，点$p=(0,6,-5)$在直线$l...
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摘要：求直线之间的距离$l_1:\frac{x+1}{-1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z+5}{2}$.$l_2:\frac{x}{3}=\frac{y-6}{-9}=\frac{z+5}{-6}$.解：点$q=(-1,1,-5)$在直线$l_1$上，点$p=(0,6,-5)$在直线$l...
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摘要：求点$(1,1,1)$到平面$x+y+z=1$的距离.解：设$(x_0,y_0,z_0)$为平面上的任意一点，则\begin{equation} x_0+y_0+z_0=1\end{equation}因此\begin{equation} (x_0-1)+(y_0-1)+(z_0-1)=-2\end...
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摘要：求点$(1,1,1)$到平面$x+y+z=1$的距离.解：设$(x_0,y_0,z_0)$为平面上的任意一点，则\begin{equation} x_0+y_0+z_0=1\end{equation}因此\begin{equation} (x_0-1)+(y_0-1)+(z_0-1)=-2\end...
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摘要：求点$(1,0,2)$到直线 \begin{equation} \begin{cases} 2x-y-2z=-1\\x+y+4z=2\\ \end{cases} \end{equation}的距离.解:设$(x_0,y_0,z_0)$为该直线上的任意一点.则\begin{equation}...
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摘要：在直角坐标系下，求原点到直线$(x,y,z)=(1,2,3)+t(2,3,-1)$的距离.解：设直线上的任意一点$(x_0,y_0,z_0)=(1,2,3)+t_0(2,3,-1)=(1+2t_0,2+3t_0,3-t_0)$.它到原点的距离为\begin{equation}\sqrt{(1+2t...
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摘要：在直角坐标系下，求下列直线的方程：从点$(2,-3,-1)$引向直线$l_1:\frac{x-1}{-2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{1}$的垂线.解：设直线$l_1$上的任意一点$(x_0,y_0,z_0)$.显然\begin{equation} \frac{x_0-1}{...
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摘要：已知某直线过点$(4,2,3)$,平行于平面$3x+2y-z=0$,垂直于直线\begin{equation} \begin{cases} x+2y-z=5\\z=10\\ \end{cases}\end{equation}求该直线方程.解：直线 \begin{equation} \begin...
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摘要：过点$(2,-1,3)$,与直线$l_1:\frac{x-1}{-1}=\frac{y}{0}=\frac{z-2}{2}$相交且垂直.求该直线方程.解：直线$l_1$的方向向量为$(-1,0,2)$.与方向向量垂直的向量设为$(x_0,y_0,z_0)$.则\begin{equation} -x_...
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摘要：直线$l_1$: \begin{equation} \frac{x-a_1}{m_1}=\frac{y-b_1}{n_1}=\frac{z-c_1}{l_1} \end{equation}直线$l_2$:\begin{equation} \frac{x-a_2}{m_2}=\frac{y-b_2}...
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摘要：设点$q_3,q_1,q_2$依次为三角形$p_1p_2p_3$的三边$p_1p_2$,$p_2p_3$,$p_3p_1$的内点，记$k_1=(p_1,p_2,q_3)$,$k_2=(p_2,p_3,q_1)$,$k_3=(p_3,p_1,q_2)$.证明三条线段$p_1q_1$,$p_2q_2$,...
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摘要：用行列式解方程组：\begin{align*} 2x+3y&=1\\4x+5y&=6 \end{align*}解:$$x=\frac{\begin{vmatrix} 1&3\\6&5\\ \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2&3\\4&5\\ \end{vmatr...
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摘要：点$r$分有向线段$\vec{pq}$成定比$k$,即$\vec{pr}=k\vec{rq}(k\neq-1)$.在仿射标架中，已知$p(a_1,a_2,a_3)$,$q(b_1,b_2,b_3)$和$k$,求$r(c_1,c_2,c_3)$解:由于$c_i-a_i=k(b_i-c_i)$,因此$...
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摘要：Lagrange恒等式:$$(\vec{a}\times\vec{b})\cdot(\vec{c}\times\vec{d})=(\vec{a}\cdot\vec{c})(\vec{b}\times\vec{d})-(\vec{b}\cdot\vec{c})(\vec{a}\cdot\vec{d})...
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摘要：设$\vec{a}$,$\vec{b}$,$\vec{c}$,$\vec{x}$为向量.证明1.$\vec{a}\times\vec{x},\vec{b}\times\vec{x},\vec{c}\times\vec{x}$共面.证明:从几何意义来看，这是显然的.$\Box$2.$\vec{a},\...
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