《几何与代数导引》习题1.36.2

在直角坐标系下，求下列直线的公垂线方程.
\begin{equation}
\begin{cases}
x+y=1\\
z=0\\
\end{cases}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{cases}
  x-z=-1\\
2y+z=2\\
\end{cases}
\end{equation}
直线1的标准方程为
\begin{equation}
  \frac{x}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{0}
\end{equation}
直线2的标准方程为
\begin{equation}
  \frac{x}{1}=\frac{y-\frac{1}{2}}{\frac{-1}{2}}=\frac{z-1}{1}
\end{equation}
因此直线1的方向向量是$(1,-1,0)$,直线2的方向向量为
$(1,\frac{-1}{2},1)$.设公垂线的方向向量为$(x_0,y_0,z_0)$,则
\begin{equation}
\begin{cases}
  x_0=y_0\\
x_0-\frac{1}{2}y_0+z_0=0\\
\end{cases}
\end{equation}
所以公垂线的方向向量可以是$(2,2,-1)$.所以公垂线方程是
\begin{equation}
  \frac{x-a}{2}=\frac{y-b}{2}=\frac{z-c}{-1}
\end{equation}

联立方程6和方程1可得交点坐标是$(a+2c,b+2c,0)$.且$a+b+4c=1$.联立方程6和
方程2可得交点坐标为
$(\frac{1+2a-2b}{3},\frac{1-a+b}{3},\frac{4+2a-2b}{3})$.且
$a-2b-2c=-3$.
且
$$
\begin{align*}
(a+2c,b+2c,0)-(\frac{1+2a-2b}{3},\frac{1-a+b}{3},\frac{4+2a-2b}{3})&\\=(\frac{a+2b+6c-1}{3},\frac{a+2b+6c-1}{3},\frac{2b-2a-4}{3})
\end{align*}
$$
我们可得
\begin{equation}
\frac{a+2b+6c-1}{3}-\frac{a+2b+6c-1}{6}+\frac{2b-2a-4}{3}=0
\end{equation}
即
\begin{equation}
  -a+6b+6c-9=0
\end{equation}
于是我们得
\begin{equation}
  \begin{cases}
    a+b+4c=1\\
a-2b-2c=-3\\
-a+6b+6c=9\\
  \end{cases}
\end{equation}
于是
\begin{equation}
  \begin{cases}
    a=0\\
b=\frac{5}{3}\\
c=\frac{-1}{6}\\
  \end{cases}
\end{equation}
于是公垂线方程为
\begin{equation}
  \frac{x}{2}=\frac{y-\frac{5}{3}}{2}=\frac{z+\frac{1}{6}}{-1}
\end{equation}