平面的隐函数定理

已知函数$F(x,y)=ax+by$.其中$a,b\in\mathbf{R},b\neq 0$.设点$(x_0,y_0)$满足$F(x_0,y_0)=0$.则存在以$(x_0,y_0)$为中心的开方块
\begin{equation}
\label{eq:14.17.39}
D\times E\subset\Omega
\end{equation}
使得对任何一个$x\in D$,恰好存在唯一一个$y\in E$,满足方程\begin{equation}\label{eq:14.17.41}F(x,y)=0\end{equation}这就是说，方程$F(x,y)=0$确定了一个从$D$到$E$的函数$y=f(x)$.这函数$y=f(x)$在$D$连续可微，它的导数可以按照下式计算：
\begin{equation}
\label{eq:22.13.1}
\frac{d y}{d x}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial
x}(x,y)}{\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)}
\end{equation}

证明:这个命题是显然的.因为通过求平面$z=ax+by$与$xy$平面的交线，容易求得$\frac{dy}{dx}=\frac{-a}{b}$.这正是$-\frac{\frac{\partial
F}{\partial x}(x,y)}{\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)}$.

 

之所以我要做这个命题，是因为我要证明隐函数定理，但是我对隐含数定理没有直观的把握，因此我先做这种简单的状况.而且，这个命题虽然简单，但是有几何意义，如图，$\tan \alpha=\frac{AO}{OB}$,$\tan \beta=\frac{AO}{OC}$,而$\tan\gamma =\frac{OC}{OB}$,可见$\tan\gamma=\frac{\tan\alpha}{\tan\beta}$.忽略符号，可得$|\tan\alpha|=|\frac{\partial F}{\partial x}(x_0)|$,$|\tan\beta|=|\frac{\partial F}{\partial y}(x_0)|$.$|\tan\gamma|=|\frac{dy}{dx}|$.可见，平面的隐函数定理是有鲜明的几何意义的,这可以给我证明一般的隐函数定理的时候提供直观的素材和很好的提示.