陶哲轩实分析 例1.22

 

解答:$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n}$是收敛的级数，设$\displaystyle S_k=\sum_{n=0}^{k}\frac{1}{2^n}$,则$\lim_{k\to\infty}S_k=2$.所以$2\lim_{n\to\infty}S_n-2=\lim_{n\to\infty}S_n$.所以$\lim_{n\to\infty}S_n=2$.而$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{2^n}$是发散的级数，只是一个形式实级数罢了.不能这样干.级数$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n$也是发散的，也不能这样做.