陶哲轩实分析 习题 7.4.1

设$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n$是绝对收敛的实数级数,并设$f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$是严格增函数.证明$\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}a_{f(m)}$也是绝对收敛的级数.

证明：利用数学归纳法容易证明$f(n)\geq n$.

因为$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n$绝对收敛，所以对于任意给定正实数$\varepsilon$,都存在相应的整数$N$,使得$\displaystyle\sum_{n=N}^{\infty}|a_n|\leq\varepsilon$.所以$\displaystyle\sum_{n=N}^{\infty}|a_{f(n)}|\leq\varepsilon$.所以$\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}a_{f(m)}$绝对收敛.