利用素数证明可数集的所有有限子集形成的集合是可数集

命题:可数集的所有有限子集形成的集合仍然是可数集.

这是一个简单的命题，因为即使连$\mathbb{N}\times \mathbb{N}$都是可数的，更不用说可数集的所有有限子集形成的集合了.但是，我还是发现了用另外一个角度可以将其证明，故记录如下.

 

我们知道，欧几里德利用它的反证法证明了素数是可数无限个的.我们把这可数无限个素数按照从小到大排序.得到一个素数列.

 

对于该素数列里的任何一个有限子列$U$,把$U$里的素数按从小到大的顺序重新排起来$$a_1< a_2<\cdots < a_k$$这有限个素数的乘积$a_1a_2\cdots a_k$是一个正整数.而且当把这个正整数进行标准分解的时候，得到的结果只可能是$a_1a_2\cdots a_k$(算术基本定理).可见,该素数列的所有有限子列形成的集合与自然数的某个无限子集形成了双射.可见命题得证.

 

致谢:谢谢申国桢指出了本文中原来存在的一个大错误.具体见他的人人日志.