$\lim_{h\to 0^{+}}\frac{e^h-1}{h}=1$

引理1:$(1+\frac{1}{n})^{nh}<1+h$.其中$n>1$是一个正整数，$\displaystyle h<\frac{1}{n}$.

 证明:令$h=\frac{1}{p}$($p>n$),则$$\displaystyle(1+\frac{1}{n})^{nh}<1+h\Leftrightarrow(1+\frac{1}{n})^n<(1+\frac{1}{p})^p$$而$$(1+\frac{1}{n})^n<(1+\frac{1}{p})^p$$在$p>n$的时候是成立的(读者应当回忆起这个不等式在引进$e$的时候出现过).

 

由引理1，$\displaystyle\frac{(1+\frac{1}{n})^{nh}-1}{h}<1(h<\frac{1}{n})$.则$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{(1+\frac{1}{n})^{nh}-1}{h}\leq 1(h<\frac{1}{n})$.即
\begin{equation}
\lim_{h\to 0^+}\frac{e^h-1}{h}\leq 1
\end{equation}

 

引理2:$\displaystyle(1+\frac{1}{n})^{nh}>1+h$.其中$n>1$是正整数，$\displaystyle \frac{1}{n}<h<\frac{1}{n-1}$.

稍微修改一下引理1的证明，请读者自己证明引理2.

 

由引理2可得，$\displaystyle\frac{(1+\frac{1}{n})^{nh}-1}{h}>1(\frac{1}{n}<h<\frac{1}{n-1})$.则$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{(1+\frac{1}{n})^{nh}-1}{h}\geq 1(\frac{1}{n}<h<\frac{1}{n-1})$.即
\begin{equation}
\lim_{h\to 0^+}\frac{e^h-1}{h}\geq 1
\end{equation}
结合(1)和(2)可得$\displaystyle \lim_{h\to 0^+}\frac{e^h-1}{h}=1$.命题证毕.