解析函數論 Page 29 命題(3) 模的下界的可達性

$F$是平面上的有界閉集，$f(z)$是$F$上的連續函數.在集$F$上至少有這樣的一點$z_0$存在，使得不等式$|f(z)|\geq |f(z_0)|$在$F$中所有的點處都成立.

證明:在此我只是用文字大郅敘述證明思路，而不過分糾結詳細.由於$F$是平面上的有界閉集，因此可以用一個矩形將其覆蓋.該矩形的兩邊分別與兩座標軸平行.由於$f(z)$在$F$上連續，因此$f(z)$在$F$上有界(根據函數模的有界性)，因此$|f(z)|$也在$F$上有界.因此$|f(z)|$在$F$有下確界.然後我們將覆蓋$F$的矩形四等分，分成四個一樣的矩形$A_{11},A_{12},A_{13},A_{14}$.$|f(z)|$限制在每個矩形上的函數分別標記爲$|f(z)|_{A_{11}},|f(z)|_{A_{12}},|f(z)|_{A_{13}},|f(z)|_{A_{14}}$.顯然，這四個函數中肯定至少有一個函數的下确界與$|f(z)|$的下确界相等(爲什麼?).我們將那個函數拿來，將它的區域四等分，又得到四個函數$|f(z)|_{A_{21}},|f(z)|_{A_{22}},|f(z)|_{A_{23}},|f(z)|_{A_{24}}$.必定存在一個函數，它的下确界等於$|f(z)|$的下确界(爲什麼?).然後再把那個函數拿來……就這樣一直進行下去，我們知道，矩形會越來越小.根據康托爾的區間套原理，必定只有唯一的一個點位於所有的矩形之中.而且由於$F$是平面上的閉集，因此這個唯一的點必定屬於$F$.

 

下面我要證明這個唯一的點$z_0$就是使得$|f(z)|$在$F$上的能取最小值的點.假若$|f(z_0)|$不是$|f(z)|$在$F$上的下确界，則$f(z_0)$大於$|f(z)|$的下确界，這容易導致矛盾(什麼矛盾?).證畢.