范德蒙行列式

计算范德蒙行列式:
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
1&1&1\cdots&1\\
a_1&a_2&\cdots&a_n\\
a_1^2&a_2^2&\cdots&a_n^2\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\
a_1^{n-1}&a_2^{n-1}&\cdots&a_n^{n-1}\\
\end{vmatrix}
\end{equation}

解:当然是采用归纳法一步步来做，来发现规律.当$n=1$时，
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
1
\end{vmatrix}=1
\end{equation}
当$n=2$时，
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
1&1\\
a_1&a_2\\
\end{vmatrix}=a_2-a_1
\end{equation}
当$n=3$时，

\begin{align*}
\begin{vmatrix}
1 &1 &1\\
a_1 &a_2 &a_3\\
a_1^2 &a_2^2 &a_3^2\\
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
a_2&a_3\\
a_2^2&a_3^2\\
\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}
a_1&a_3\\
a_1^2&a_3^2\\
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
a_1&a_2\\
a_1^2&a_2^2\\
\end{vmatrix}=a_2a_3 \begin{vmatrix}
1&1\\
a_2&a_3\\
\end{vmatrix}-a_1a_3 \begin{vmatrix}
1&1\\
a_1&a_3\\
\end{vmatrix}+a_1a_2 \begin{vmatrix}
1&1\\
a_1&a_2\\
\end{vmatrix}=a_2a_3(a_3-a_2)-a_1a_3(a_3-a_1)+a_1a_2(a_2-a_1)
\end{align*}

化简

\begin{align*}
a_2a_3(a_3-a_2)-a_1a_3(a_3-a_1)+a_1a_2(a_2-a_1)=(a_2-a_1)(a_3-a_1)(a_3-a_2)
\end{align*}(把
$a_2a_3(a_3-a_2)-a_1a_3(a_3-a_1)+a_1a_2(a_2-a_1)$ 看作关于$a_1$的二次多项式，得到这两个多项式在两个插值点$a_2,a_3$处都相等，因此两个多项式相等)

 

现在我们假设
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
1&1&1\cdots&1\\
a_1&a_2&\cdots&a_n\\
a_1^2&a_2^2&\cdots&a_n^2\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\
a_1^{n-1}&a_2^{n-1}&\cdots&a_n^{n-1}\\
\end{vmatrix}=\prod_{n\geq i>j\geq 1}(a_i-a_j)
\end{equation}

则根据行列式的拉普拉斯展开，可得
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
1&1&1&\cdots&1\\
a_1&a_2&\cdots&a_n&a_{n+1}\\
a_1^2&a_2^2&\cdots&a_n^2&a_{n+1}^2\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\
a_1^{n-1}&a_2^{n-1}&\cdots&a_n^{n-1}&a_{n+1}^{n-1}\\
a_1^n&a_2^n&\cdots&a_n^n&a_{n+1}^n\\
\end{vmatrix}=\sum_{k=1}^{n+1}\left((-1)^{k+1}\frac{\prod_{i=1}^{n+1}a_i}{a_k}\prod_{i>j;i,j\neq k}(a_i-a_j)\right)
\end{align*}

这是个关于$a_1$的$n$次实变多项式函数,不妨记做 $f(a_1)$.容易验证得到

\begin{equation}
f(a_2)=f(a_3)=\cdots=f(a_{n+1})=0
\end{equation}

于是
\begin{equation}
\sum_{k=1}^{n+1}\left((-1)^{k+1}\frac{\prod_{i=1}^{n+1}a_i}{a_k}\prod_{i>j;i,j\neq
k}(a_i-a_j)\right)=\prod_{n+1\geq i>j\geq 1}(a_i-a_j)
\end{equation}
于是根据数学归纳法，可得 $\forall n\in\mathbf{N}^{+}$,

\begin{equation}
\begin{vmatrix}
1&1&1\cdots&1\\
a_1&a_2&\cdots&a_n\\
a_1^2&a_2^2&\cdots&a_n^2\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\
a_1^{n-1}&a_2^{n-1}&\cdots&a_n^{n-1}\\
\end{vmatrix}=\prod_{n\geq i>j\geq 1}(a_i-a_j)
\end{equation}