$$\int_0^{nh}x(x-h)\cdots (x-nh)dx=h^{n+2}\int_0^nx(x-1)\cdots (x-n)dx$$

我们来探究\begin{align*}
  \int_0^{nh}x(x-h)\cdots (x-nh)dx
\end{align*}
和
\begin{align*}
  \int_0^nx(x-1)\cdots (x-n)dx
\end{align*}
的关系.

 

 

我们先来看
\begin{align*}
  x(x-h)\cdots (x-nh)
\end{align*}
中$x^i$的系数$\alpha_i(h)$和
\begin{align*}
  x(x-1)\cdots (x-n)
\end{align*}
中$x^i$的系数$\alpha_i(1)$的关系.显然，
\begin{align*}
  \alpha_i(h)=h^{n+1-i}\alpha_i(1)
\end{align*}
我们知道，
\begin{align*}
 x(x-1)\cdots (x-n)
\end{align*}
的原函数可以写成
\begin{align*}
  \beta_{n+2}x^{n+2}+\beta_{n+1}x^{n+1}+\cdots+\beta_2x^2=\sum_{i=1}^{n+1} \beta_{i+1}x^{i+1}
\end{align*}
的形式.因此
\begin{align*}
  x(x-h)\cdots (x-nh)
\end{align*}
的原函数可以写成
\begin{align*}
  \sum_{i=1}^{n+1}h^{n+1-i}\beta_{i+1}x^{i+1}
\end{align*}
根据牛顿-莱布尼兹公式，我们知道，
\begin{align*}
  \int_0^nx(x-1)\cdots (x-n)dx=\sum_{i=1}^{n+1}\beta_{i+1}n^{i+1}
\end{align*}
可见,
\begin{align*}
  \int_0^{nh}x(x-h)\cdots
  (x-nh)dx=\sum_{i=1}^{n+1}h^{n+1-i}\beta_{i+1}(nh)^{i+1}=h^{n+2}\sum_{i=1}^{n+1}\beta_{i+1}n^{i+1}=h^{n+2}\int_0^nx(x-1)\cdots (x-n)dx
\end{align*}