陶哲轩实分析 推论 7.3.2 (比较判别法) 证明

设$\sum_{n=m}^{\infty}a_n$和$\sum_{n=m}^{\infty}b_n$是两个实数的收敛级数.并设对于一切$n\geq m$,$|a_n|\leq b_n$.如果$\sum_{n=m}^{\infty}b_n$收敛，那么$\sum_{n=m}^{\infty}a_n$绝对收敛.

证明：$\sum_{n=m}^{\infty}b_n$收敛，说明对于任意给定的正实数$\varepsilon$,都存在相应的整数$N$,对于一切$p\geq q\geq N$,都有$\sum_{n=q}^p|b_n|\leq\varepsilon$.则$\sum_{n=q}^p|a_n|\leq \varepsilon$.说明$\sum_{n=m}^{\infty}a_n$绝对收敛.$\Box$

由于$\sum_{n=m}^{\infty}a_n$绝对收敛，所以它也是条件收敛.

 

并且$$|\sum_{n=m}^{\infty}a_n|\leq\sum_{n=m}^{\infty}|a_n|\leq\sum_{n=m}^{\infty}b_n$$

证明：对于任意整数$N$,都有
$$|\sum_{n=m}^{N}a_n|\leq\sum_{n=m}^{N}|a_n|$$
所以$$\lim_{N\to\infty}|\sum_{n=m}^{N}a_n|\leq\lim_{N\to\infty}\sum_{n=m}^{N}|a_n|$$
即$$|\sum_{n=m}^{\infty}a_n|\leq \sum_{n=m}^{\infty}|a_n|$$

同样易证
$$\sum_{n=m}^{\infty}|a_n|\leq\sum_{n=m}^{\infty}b_n$$