陶哲轩实分析 命题 7.4.1 证明

设$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n$是收敛的非负实数级数.并设$f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$是双射.那么$\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}a_{f(m)}$也收敛.并有同样的和
$$\sum_{m=0}^{\infty}a_{f(m)}=\sum_{n=0}^{\infty}a_n$$

 

证明:因为$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n$是收敛的非负实数级数，所以对于任意给定的正实数$\varepsilon$,存在相应的自然数$N$,使得$\sum_{n=N+1}^{\infty}a_n<\varepsilon$.

因为$f$是双射，所以存在自然数$M$,使得$\displaystyle (a_n)_{n=0}^{N}$是$(a_{f(m)})_{m=0}^{M}$的子集合.所以$\displaystyle\sum_{m=M+1}^{\infty}(a_{f(m)})<\varepsilon$.因此$\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}a_{f(m)}$收敛.

至于$$\sum_{m=0}^{\infty}a_{f(m)}=\sum_{n=0}^{\infty}a_n$$是因为无论$N$多么大，$\displaystyle\sum_{m=0}^{N}a_{f(m)}$总会不大于$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n$.因此$\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}a_{f(m)}$不大于$\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}a_n$.同理，可证$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n$不大于$\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty}a_{f(m)}$.

所以$$\sum_{m=0}^{\infty}a_{f(m)}=\sum_{n=0}^{\infty}a_n$$