陶哲轩实分析 命题7.4.3 (级数的重排) 证明

级数的重排：设$\sum_{n=0}^{\infty}a_n$是绝对收敛的实数级数.并设$f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$是双射.那么级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_{f(n)}$也是绝对收敛的.且$$\sum_{n=0}^{\infty}a_n=\sum_{m=0}^{\infty}a_{f(n)}$$

 

证明：因为$\sum_{n=0}^{\infty}a_n$是绝对收敛的，所以对于任意给定的正实数$\varepsilon$,都存在相应的自然数$N$,使得$\sum_{n=N+1}^{\infty}|a_n|<\varepsilon$.由于$f$是双射，因此必存在自然数$M$,使得$(a_n)_{n=0}^{N}$是$(a_{f(n)})_{n=0}^{M}$的一个子集合.因此$(|a_{f(n)}|)_{n=M+1}^{\infty}<\varepsilon$.因此级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_{f(n)}$也是绝对收敛的.

至于$$\sum_{n=0}^{\infty}a_n=\sum_{m=0}^{\infty}a_{f(n)}$$是因为我们可以把数列$(a_n)_{n=0}^{\infty}$分成两个子列，一个子列$A$中的元素全是非负的，一个子列$B$中的元素全是负的(当然有可能存在空子列的情形，不碍事).易证两个子列都是绝对收敛的子列.设$A$收敛到$x$,$B$收敛到$y$.易证
$$\sum_{n=0}^{\infty}a_n=x+y$$
根据陶哲轩实分析命题7.4.1，我们已证$A$中的元素经过任意重排后仍旧绝对收敛到同一个值，$B$中的元素经过任意重排后仍旧绝对收敛到同一个值.因此$(a_n)_{n=0}^{\infty}$经过任意重排后仍旧绝对收敛到同一个值.