数学分析(Tom M.Apostol) 定理6.7

如果$f$在$[a,b]$上是有界变差函数，即对于$[a,b]$的全部[分划]都有$\sum|\Delta f_k|\leq M$,则$f$在$[a,b]$上是有界的，事实上对于$[a,b]$内的一切$x$都有
$$|f(x)|\leq |f(a)|+M$$


证明：很简单.$\forall c\in [a,b]$,我们选取一个$[a,b]$的[分割]$P=\{x_0,\cdots,x_n\}$，使得$c\in P$.不妨设$c=x_i$,其中$0\leq i\leq n$.我们知道，
$$f(c)=f(x_i)=f(a)+\sum_{t=1}^{i}\Delta f_t$$
因此
$$|f(c)|=|f(a)+\sum_{t=1}^{i}\Delta f_t|\leq |f(a)|+\sum_{t=1}^i |\Delta f_t|\leq |f(a)|+M$$

注:实际上，更强的结论是$|f(x)-f(a)|\leq M$，这是很简单的.