数学分析(Tom M.Apostol) 定理6.7
如果f在[a,b]上是有界变差函数,即对于[a,b]的全部[分划]都有\sum|\Delta f_k|\leq M,则f在[a,b]上是有界的,事实上对于[a,b]内的一切x都有
|f(x)|\leq |f(a)|+M
证明:很简单.\forall c\in [a,b],我们选取一个[a,b]的[分割]P=\{x_0,\cdots,x_n\},使得c\in P.不妨设c=x_i,其中0\leq i\leq n.我们知道,
f(c)=f(x_i)=f(a)+\sum_{t=1}^{i}\Delta f_t
因此
|f(c)|=|f(a)+\sum_{t=1}^{i}\Delta f_t|\leq |f(a)|+\sum_{t=1}^i |\Delta f_t|\leq |f(a)|+M
注:实际上,更强的结论是|f(x)-f(a)|\leq M,这是很简单的.
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