纯数学教程 Page 324 正项级数绝对收敛的一种判别法

假设$u_n>0$,$v_n>0$,且对充分大的$n$,比方说对$n\geq n_0$,有
\begin{equation}\label{eq:kill}
\frac{v_{n+1}}{v_n}\leq \frac{u_{n+1}}{u_n}
\end{equation}

且$\sum u_n$收敛，那么$\sum v_n$收敛.

证明是简单的，我们看以下数列，
\begin{equation}\label{eq:min}
u_{n_0},u_{n_0+1},u_{n_0+2},u_{n_0+3},\cdots
\end{equation}
以及以下数列
\begin{equation}\label{eq:max}
v_{n_0},v_{n_0+1},v_{n_0+2},v_{n_0+3}\cdots
\end{equation}
我们将\ref{eq:min}的每一项都乘以$\frac{v_{n_0}}{u_{n_0}}$,变成
\begin{equation}\label{eq:fuck}
v_{n_0},u_{n_0+1}\frac{v_{n_0}}{u_{n_0}},u_{n_0+2}\frac{v_{n_0}}{u_{n_0}},u_{n_0+3}\frac{v_{n_0}}{u_{n_0}},\cdots
\end{equation}
\ref{eq:fuck}也是收敛的.结合\ref{eq:fuck},根据\ref{eq:kill},可知\ref{eq:min}也收敛(为什么?).