数学分析原理 定理 6.8

如果$f$在$[a,b]$上连续，则在$[a,b]$上，$f\in\mathcal{R}(\alpha)$.

证明：我以前证明了闭区间上的连续函数是可以进行黎曼积分的.如下：$f$在$[a,b]$上连续，所以$f$在$[a,b]$上[一致连续].即$\forall \varepsilon>0,\exists\delta>0,$使得$\forall x_1,x_2\in [a,b]$,当$|x_1-x_2|\leq \delta$时都有$|f(x_1)-f(x_2)|\leq \varepsilon$.可见，$\forall\varepsilon>0$,都存在一个分割P，使得对于该分割形成的任何一个小区间$[x_i,x_{i+1}]$来说，函数在该小区间上的上确界减去函数在该小区间上的下确界不大于$\varepsilon$. 这样，就容易得到$U(f,P)-L(f,P)\leq \varepsilon(b-a)$.然后根据[数学分析原理_定理6.6]得出$f$在$[a,b]$上黎曼可积.

 

下面我证明更广的结论，证明其在$[a,b]$上可以进行Riemann-Stieltjes积分.

 

 

$f$在$[a,b]$上连续，所以$f$在$[a,b]$上一致连续.即$\forall \varepsilon>0,\exists\delta>0,$使得$\forall x_1,x_2\in [a,b]$,当$|x_1-x_2|\leq \delta$时都有$|f(x_1)-f(x_2)|\leq \varepsilon$.可见，$\forall\varepsilon>0$,都存在一个分割P，使得对于该分割形成的任何一个小区间$[x_i,x_{i+1}]$来说，函数在该小区间上的上确界(最大值，根据闭区间上的连续函数有最大值)减去函数在该小区间上的下确界(最小值)不大于$\varepsilon$. 这样，就容易得到对于任意给定的正实数$\varepsilon$,都存在一个分划P，使得
$$U(P,f,\alpha)-L(P,f,\alpha)\leq \varepsilon(\alpha(b)-\alpha(a))$$
然后根据数学分析原理_定理6.6(见书本),得出$f$在$[a,b]$上Riemann-Stieltjes可积.