纯数学教程 Page 325 例LXVIII (13)

如果$\sum u_n^2$收敛，那么$\sum \frac{u_n}{n}$收敛.

 

证明:由于$\sum u_n^2$收敛，因此对于任意给定的正实数$\varepsilon$,都存在相应的正整数$N_0$，使得$\forall p,q\geq N_0$,都有
\begin{equation}
\sum_{i=p}^qu_i^2<\varepsilon
\end{equation}
根据柯西不等式，
\begin{equation}
\sum_{i=p}^q \frac{u_i}{i}\leq
\sqrt{\sum_{i=p}^qu_i^2}\sqrt{\sum_{i=p}^q \frac{1}{i^2}}<
\sqrt{2}\sqrt{\sum_{i=p}^qu_i^{2}}<\sqrt{2} \sqrt{\varepsilon}
\end{equation}
因此$\sum \frac{u_n}{n}$收敛.