纯数学教程 Page 203 例XLI (6)
如果ax2+2bx+c有一个二重根,也即它有a(x−α)2的形式,那么2ax+2b必定可以被x−α整除,所以有α=−ba.而且有aα2+2bα+c=0,因此b2=ac.
应用(纯数学教程 Page 203 例XLI (7)):
方程
1x−a+1x−b+1x−c=0当且仅当a=b=c时有一对相等的根.
证明:即
(x−a)(x−b)+(x−b)(x−c)+(x−c)(x−a)=0x≠a,b,c.
即
3x2+(−2a−2b−2c)x+(ab+bc+ca)=0
有一对相等的根的意思就是3有重根 ,当且仅当
(−a−b−c)2=3(ab+bc+ca)
当且仅当
a2+b2+c2−ab−bc−ca=0
当且仅当
(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2=0
当且仅当a=b=c.
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