解析函数论 Page 8 f(x)在x0处解析的充要条件
定义于点x0的邻域内的函数f(x)在该点处为解析的充分必要条件是:
1.它在这一点的某一邻域内无穷次可微.
2.有这样的正数δ,M存在,使得对于区间(x0−δ,x0+δ)中的任意x与对于任意自然数k,成立不等式
|f(k)(x)|<Mk!δk
⇐:我们来看f(x)在区间(x0−δ,x0+δ)内的展开:
f(x0)+f′(x0)1!(x−x0)+f″
我们验证该级数为绝对收敛的,只用验证下面的级数是绝对收敛的.
\begin{equation} \label{eq:1.56} |f(x_0)|+|\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)|+|\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2|+\cdots+|\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n|+\cdots \end{equation}
这是很容易的,因为
\begin{equation} \label{eq:1.58} |\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n|<|\frac{\frac{Mn!}{\delta^n}}{n!}(x-x_0)^n|=M|\frac{x-x_0}{\delta}|^n \end{equation}
而
\begin{equation} |\frac{x-x_0}{\delta}|<1 \end{equation}
因此\ref{eq:1.38}绝对收敛.
\Rightarrow:我们知道,\forall x\in (x_0-\delta,x_0+\delta),
\begin{equation} \label{eq:10.57} \sum_{i=1}^{\infty}|\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i|<M-1 \end{equation}
其中M是一个大于1的正实数.由于x在(x-\delta,x+\delta)内的任意性,因此我们有
\begin{equation} \label{eq:11.02} \sum_{i=1}^{\infty}|\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}\delta^i|< M \end{equation}
把它变得好看一点即
\begin{equation} \label{eq:11.28} |\frac{f^{(1)}(x_0)}{1!}\delta^1|+|\frac{f^{(2)}(x_0)}{2!}\delta^{2}|+\cdots<M \end{equation}
即
\begin{equation} \label{eq:11.31} |\frac{f^{(N)}(x_0)}{N!}\delta^N|<M \end{equation}
即
\begin{equation} |f^{(N)}(x_0)|< \frac{M N!}{\delta^N} \end{equation}
由于导函数连续,因此当\delta足够小时,f^{(N)}(x)与f^{(N)}(x_0)足够近,此时|f^{(N)}(x)|<\frac{MN!}{\delta^N}证毕.
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