「陶哲軒實分析」 習題 3.5.1

 

（1）(x, y): = {{x}, {x, y}}.(x^’, y^’): = {{x^’}, {x^’, y^’}}.

先证明x = x^’, y = y^’时，(x,y)=(x^’, y^’).这是很容易的.其次要证明，当{{x}, {x, y}} = {{x^’}, {x^’, y^’}}时，可以推出x = x^’, y = y^’.分两种情况讨论，

 

(1)x = y.此时{{x}, {x, y}} = {{x}}.{{x}} = {{x^’}, {x^’, y^’}}.则{x^’} = {x^’, y^’}.则x^’ = y^’.则{{x}} = {{x^’}}.则{x}={x^’}则x = x^’.成立.

 

(2)x ≠ y.此时若{x}={x^’},则{x,y}={x^’, y^’}.则x=x^’.y=y^’.若{x}={x^’, y^’}则x^’ = y^’ = x.{x,y}={x^’}，则x=y=x^’矛盾.

 

 

 

(2)(x,y):={x,{x,y}}.(x^’, y^’): = {x^’, {x^’, y^’}}.

先证明x=x^’, y = y^’时，(x,y)=(x^’, y^’).这也是很容易的.其次要证明，当{x, {x, y}} = {x^’, {x^’, y^’}}时，可以推出x = x^’, y = y^’.

 

若x=x^’.则{x,y} ≠ {x^’}否则x={x,y}.x集是一个集合，该集合含有自身，与正则公理的推论矛盾.可见{x, y} = {x^’, y^’}.因为x = x^’所以y = y^’.成立.

 

若x ≠ x^’则x = {x^’, y^’}.同样易证此时{x,y} ≠ {x^’, y^’}.则{x,y}=x^’.则x={{x,y},y^’}.易证x ≠ y^’.否则x={x^’, x}.一个集合含有本身是不允许的.可见，x必须等于x^’.完毕