连分数中一个有意思的小玩意儿

该结论来自美国新数学丛书《连分数》的第8页.若$p$比$q$大，并且
\begin{equation}
\frac{p}{q}=[a_1,a_2,\cdots,a_n]
\end{equation},则
\begin{equation}
\frac{q}{p}=[0,a_1,a_2,\cdots,a_n]
\end{equation}

这是容易证明的.因为求一个有理数的连分数本质上就是进行欧几里德算法的操作,
\begin{equation}
q=0\times p+q
\end{equation}
而接下来所探讨的，便是$p$和$q$了，这就是重复$\frac{p}{q}$的情形，因此命题成立.