新数学丛书《连分数》 习题 1.1

把下面的每一个都化为有限简单连分数.

(1)$\frac{17}{11}$.

解:
\begin{equation}
17=1\times 11+6 \Leftrightarrow \frac{17}{11}=1+\frac{6}{11}
\end{equation}
\begin{equation}
11=1\times 6+5 \Leftrightarrow \frac{11}{6}=1+\frac{5}{6}
\end{equation}
\begin{equation}
6=1\times 5+1 \Leftrightarrow \frac{6}{5}=1+\frac{1}{5}
\end{equation}
因此连分数展开为
\begin{equation}
1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{5}}}
\end{equation}

(2)$\frac{51}{33}$.

解:
\begin{equation}
51=1\times 33+18\Leftrightarrow \frac{51}{33}=1+\frac{18}{33}
\end{equation}
\begin{equation}
33=1\times 18+15\Leftrightarrow \frac{33}{18}=1+\frac{15}{18}
\end{equation}
\begin{equation}
18=1\times 15+3\Leftrightarrow \frac{18}{15}=1+\frac{3}{18}
\end{equation}
因此连分数展开为
\begin{equation}
1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{3}{18}}}
\end{equation}
即为
\begin{equation}
1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{6}}}
\end{equation}

(3)$3.54=\frac{354}{100}$.

解:
\begin{equation}
354=3\times 100+54\Leftrightarrow \frac{354}{100}=3+\frac{54}{100}
\end{equation}
\begin{equation}
100=1\times 54+46 \Leftrightarrow \frac{100}{54}=1+\frac{46}{54}
\end{equation}
\begin{equation}
54=1\times 46+8\Leftrightarrow \frac{54}{46}=1+\frac{8}{46}
\end{equation}
\begin{equation}
46=5\times 8+6\Leftrightarrow \frac{46}{8}=5+\frac{6}{8}
\end{equation}
\begin{equation}
8=1\times 6+2\Leftrightarrow \frac{8}{6}=1+\frac{2}{8}
\end{equation}
因此连分数展开为
\begin{equation}
3+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{5+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{4}}}}}
\end{equation}

(4)$\frac{233}{177}$.

解:
\begin{equation}
233=1\times 177+56\Leftrightarrow \frac{233}{177}=1+\frac{56}{177}
\end{equation}
\begin{equation}
177=3\times 56+9\Leftrightarrow \frac{177}{56}=3+\frac{9}{56}
\end{equation}
\begin{equation}
56=6\times 9+2\Leftrightarrow \frac{56}{9}=6+\frac{2}{9}
\end{equation}
\begin{equation}
9=4\times 2+1\Leftrightarrow \frac{9}{2}=4+\frac{1}{2}
\end{equation}
因此连分数展开为
\begin{equation}
1+\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{6+\dfrac{1}{4+\dfrac{1}{2}}}}
\end{equation}

 

 

(5)$0.23=\frac{23}{100}$.

解:
\begin{equation}
23=0\times 100+23\Leftrightarrow \frac{23}{100}=0+\frac{23}{100}
\end{equation}
\begin{equation}
100=4\times 23+8\Leftrightarrow \frac{100}{23}=4+\frac{8}{23}
\end{equation}
\begin{equation}
23=2\times 8+7\Leftrightarrow \frac{23}{8}=2+\frac{7}{8}
\end{equation}
\begin{equation}
8=1\times 7+1\Leftrightarrow \frac{8}{7}=1+\frac{1}{7}
\end{equation}
因此连分数展开为
\begin{equation}
0+\dfrac{1}{4+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{7}}}}
\end{equation}
(6)$\frac{355}{106}$.

\begin{equation}
355=3\times 106+37\Leftrightarrow \frac{355}{106}=3+\frac{37}{106}
\end{equation}
\begin{equation}
106=2\times 37+32\Leftrightarrow \frac{106}{37}=2+\frac{32}{37}
\end{equation}
\begin{equation}
37=1\times 32+5\Leftrightarrow \frac{37}{32}=1+\frac{5}{32}
\end{equation}
\begin{equation}
32=6\times 5+2\Leftrightarrow \frac{32}{5}=6+\frac{2}{6}
\end{equation}
因此连分数展开为
\begin{equation}
3+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{6+\dfrac{1}{3}}}}
\end{equation}

(7)3.14159

解:
\begin{equation}
314159=3\times 100000+14159\Leftrightarrow \frac{314159}{100000}=3+\frac{14159}{100000}
\end{equation}
\begin{equation}
100000=7\times 14159+887\Leftrightarrow \frac{100000}{14159}=7+\frac{887}{14159}
\end{equation}
\begin{equation}
14159=15\times 887+854\Leftrightarrow \frac{14159}{887}=15+\frac{854}{887}
\end{equation}
\begin{equation}
887=1\times 854+33\Leftrightarrow \frac{887}{854}=1+\frac{33}{854}
\end{equation}
\begin{equation}
854=25\times 33+29\Leftrightarrow \frac{854}{33}=25+\frac{29}{33}
\end{equation}
\begin{equation}
33=1\times 29+4\Leftrightarrow \frac{33}{29}=1+\frac{4}{29}
\end{equation}
\begin{equation}
29=7\times 4+1\Leftrightarrow \frac{29}{4}=7+\frac{1}{7}
\end{equation}
因此连分数展开为
\begin{equation}
3+\dfrac{1}{7+\dfrac{1}{15+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{25+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{7+\dfrac{1}{7}}}}}}}
\end{equation}