良序原理

良序原理:任何一个集合$M$都至少有一个良序.

 

 

证法1(模糊，待修改)：$M$的所有子集对于集合的包含关系形成一个偏序集.设$\{x_0\}\subset M$.根据Zorn引理中的引理1，必定存在一个以$\{x_0\}$为最小元的良序集$T$，$T$没有严格上界.下面证明$M\in T$.假若$M\not\in T$,我们有$\forall i\in T$,$i\subset M\backslash\{h_i\}$，其中$h_i$是$M$中的某一个元素，它随$i$的变化而相应变化.则$M$成了$T$的严格上界，矛盾.因此$M\in T$.由上面的推导可知，对于$M$的任何一个包含$\{x_0\}$的子集$K$，都有良序集$T_K$使得$\{x_0\},K\in T_K$，且$K$是$T_K$的最大元.可见,$M$能良序化.

证法2：其实，证明Zorn引理中的引理的方法可以拿来对付这个命题.设$M$是一个非空集合（空集肯定是良序集），设$\{x_0\}\subset M$,让$\emptyset$与序数$\emptyset$序同构.让$\{x_0\}$与序数$\{\emptyset\}$序同构.假若$M\backslash\{x_0\}=\emptyset$,则$M$显然良序，否则$\{x_0,x_1\}\subset M$,让$\{x_0,x_1\}$与$\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$序同构.……这样子一直下去，必然存在后继序数$k$,使得$\forall i\in k$,$M$中存在子集与$i$序同构，这些子集之间两两有包含关系.而不存在$M$的子集与$k$序同构.（否则，根据强数学归纳法，任给一个序数，$M$中都有子集与之序同构，但是根据Zorn引理中引理的证明，我们知道这是不可能 的）,这个子集包含前面所有的子集.这时，易得我们实际上已经完成了$M$的良序化.

 

注1:由于任何集合都可以良序化，根据良序集的势的三歧性，我们可知，任何两个集合的势都可以比较.这就是Cantor-Bernstein-Schroeder定理.Cantor-Bernstein-Schroeder定理还有另一个不使用选择公理的证法,请见链接.我想，学有余力的话可以考虑一下为什么Cantor-Bernstein-Schroeder定理可以不用选择公理而得到证明.

 

 

 

 

注2:还有另外一个版本的良序原理,说自然数集的任意非空子集是良序集.