数学分析(Tom M.Apostol) 定理6.5
如果$f$在$[a,b]$上单调，则$f$是$[a,b]$上的有界变差函数.
证明：不妨设$f$在$[a,b]$上递增.
设$P=\{x_0,\cdots,x_n\}$是对区间$[a,b]$的任意分割,则
$$\sum_{i=0}^{n-1}|f(x_{i+1})-f(x_i)|=\sum_{i=0}^{n-1}f(x_{i+1})-f(x_i)=f(b)-f(a)$$
因此$f$是$[a,b]$上的有界变差函数.
如果$f$在$[a,b]$上单调，则$f$是$[a,b]$上的有界变差函数.
证明：不妨设$f$在$[a,b]$上递增.
设$P=\{x_0,\cdots,x_n\}$是对区间$[a,b]$的任意分割,则
$$\sum_{i=0}^{n-1}|f(x_{i+1})-f(x_i)|=\sum_{i=0}^{n-1}f(x_{i+1})-f(x_i)=f(b)-f(a)$$
因此$f$是$[a,b]$上的有界变差函数.
