陶哲轩实分析 习题 13.4.8

设 $(X,d)$ 是度量空间,并设 $E$ 是 $X$ 的子集合.证明:如果 $E$ 是连通的,则 $E$ 的闭包 $\overline{E}$ 也是连通的.

证明:如果 $\overline{E}$ 不是连通的,则 $\overline{E}$ 可以分解成两个不相交非空集合$A$ 和 $B$ 的并.且 $A$ 和 $B$ 都是相对于 $\overline{E}$ 的开集.易得 $E\bigcap A$ 和 $E\bigcap B$ 都是相对于 $E$ 的非空开集(为什么?注:$\overline{E}$ 是闭包这个条件很关键),且不相交,因此 $E$ 是不连通的,矛盾.可见假设错误,即命题成立.