陶哲轩实分析 习题 13.5.4

证明平凡拓扑不是 Hausdorff 拓扑.

证明:这是因为空集无法成为 $X$ 中任意一个元素的邻域.  

证明:对于 Hausdorff 空间,成立命题 12.1.20 的类比.

先叙述出类比.设 $(X,\tau)$ 是 Hausdorff 拓扑空间,并设 $(x^{(n)})_{n=m}^{\infty}$ 是 $X$ 中的序列,假定存在两点 $x,x'\in X$ 使 $(x^{(n)})_{n=m}^{\infty}$ 同时收敛到 $x,x'$,则必有 $x=x'$. 证明:假若 $x\neq x'$,则根据由于 $(X,\tau)$ 是 Hausdorff 的,可得存在 $x$ 的一个邻域 $P$ 和 $x'$ 的一个邻域 $Q$,使得 $P\bigcap Q=\emptyset$.但是这与拓扑收敛矛盾.

  举出一个非 Hausdorff 空间的例子使得命题 12.1.20 不成立.

解:平凡拓扑空间就是一个例子.