实变函数解疑:集合的无限交并运算

有人在百度贴吧问了这个问题,内容如下:

 

哪位高人帮我解释下(1)和（2）的含义，以及（3）成立的原因.（3）出自高等教育出版社程其襄实变函数13页.

 

我的回答:我们该怎么来看集合
$$\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{m=n}^{\infty}A_m.$$
呢?让我来告诉大家吧.先把 $n$ 一一给定,我们显然知道 $\forall n=1,2,\cdots,k,\cdots$,
$$
\bigcup_{m=n}^{\infty}A_m
$$
的意思.于是我们就得到了一列集合
$$
\bigcup_{m=1}^{\infty}A_m,\bigcup_{m=2}^{\infty}A_m,\cdots,\bigcup_{m=k}^{\infty}A_m,\cdots
$$
然后把这列集合全都交起来,就得到了

$$\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{m=n}^{\infty}A_m.$$
那么,我们该怎么来看集合
$$\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{m=n}^{\infty}A_m.$$
呢?同样,先把 $n$ 一一给定,我们显然知道 $\forall n=1,2,\cdots,k,\cdots$,
$$
\bigcap_{m=n}^{\infty}A_m
$$
的意思.于是我们就得到了一列集合
$$
\bigcap_{m=1}^{\infty}A_m,\bigcap_{m=2}^{\infty}A_m,\cdots,\bigcap_{m=k}^{\infty}A_m,\cdots
$$
然后把这列集合全都并起来,就得到了
$$\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{m=n}^{\infty}A_m.$$
至于 (3) 式,我想你的提问有问题吧,应该写成
$$
\forall n\in\mathbf{N}^{+},x\in \bigcup_{m=n}^{\infty}A_m\Rightarrow
x\in \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{m=n}^{\infty}A_m.
$$
至于为什么 (3) 成立,由上面的解释我们很容易知道.