利用圆解一元二次方程

已知一元二次方程 $x^2+bx+c=0$ 有两个正实根 $x_1,x_2$,于是 $(x-x_1)(x-x_2)=x^2+bx+c$,也即 $x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=x^2+bx+c$.于是 $x_1+x_2=-b,x_1x_2=c$.下面看图:线段HI垂直于GF.

 

如图,设 $|GI|=x_1$,$|IF|=x_2$,则我们知道了圆的半径为$\frac{-b}{2}$.且根据相似三角形的知识易得 $|HI|^2=x_1x_2=c$.于是根据勾股定理,可得 $|IE|^2=|HE|^2-|HI|^2=\frac{b^2}{4}-c$.于是 $|IE|=\sqrt{\frac{b^2}{4}-c}$.这样就可以解得 |IF| 和 |GI| ,也就是 $x_1,x_2$ 了.完毕.