《线性规划》(卢开澄,卢华明) 例2.1

设 $\mathbf{A}=(a_{ij})_{m\times n}$,$\mathbf{b}=(b_1,b_2,\cdots,b_m)^T$,存在 $\mathbf{x}$,使得 $\mathbf{Ax=b}$.证明 $\{\mathbf{x}|\mathbf{Ax=b,x\geq 0}\}$ 是凸集.


证明:即证明,若 $\mathbf{x_1,x_2}\in \{\mathbf{x}|\mathbf{Ax=b,x\geq 0}\}$,则对于任意 $\lambda\in [0,1]$,$\lambda\mathbf{x_1}+(1-\lambda)\mathbf{x_2}\in\{\mathbf{x}|\mathbf{Ax=b,x\geq 0}\}$.根据线性映射的性质,我们知道,$\mathbf{A(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)}=\lambda\mathbf{Ax_1}+(1-\lambda)\mathbf{Ax_2}=\mathbf{\lambda b+(1-\lambda)b=b}$.而且易得 $\lambda\mathbf{x_1}+(1-\lambda)\mathbf{x_2}\geq 0$(为什么?),因此可得 $\{\mathbf{x}|\mathbf{Ax=b,x\geq 0}\}$ 是凸集.

注：类似地,我们可以证明,若线性规划问题存在可行解,则问题的可行域是凸集.